数学期末复习指要.doc

数学期末复习指要（上）本学期数学学习内容共分六章，分别为第1章集合与逻辑用语、第2章不等式、第3章函数、第4章指数函数与对数、第5章三角函数、第6章数列。各章主要内容和例题如下：第1章主要内容一、集合1 集合的概念：某些确定的对象组合在一起就成为一个集合，集合中的每一个对象叫做这个集合中的元素.：表示是集合的元素；：表示不是集合的元素2集合的表示法：列举法和描述法。3集合之间的关系：或：表示集合是集合的子集；或：表示集合是集合的真子集；=：表示集合等于集合。注意：（）是集合与元素关系的连接符号；，是集合与集合关系的连接符号。例1 设M=, a=1,则【 】（A）a M （B）a M（C）a M （D）a M分析 本题四个选项中都是元素a与集合M的关系，因此排除选项（A）、（B）。又因为a=12，所以，选项（C）正确。答案：（C）4集合的运算集合的运算有三种：交、并、补。交集：两个集合的公共元素组成的集合.并集：两个集合的全体元素组成的集合.补集：指定全集的情况下，如果，则中除中元素以外的元素组成的集合=.常见的数集符号：，等； 空集符号 ；全集符号 。例2 设集合A=1,2，B=1,3,4， C=2,3,5，则集合A_.分析 ，A1,2=1,2，3。答案：1,2，3。二. 逻辑用语1命题:可以判断真假的语句叫命题2. 充要条件：若 ，则是的充分条件，是的必要条件.若 ，则是充要条件，也说与是等价的.例3 “x+2 = 0”是“x24 = 0”的_条件.分析 显然，由x+2 = 0 x=-2 x24 = 0；但若x24 = 0 x=-2或2。因此，“x+2 = 0”是“x24 = 0”的充分条件。答案：充分。第2章主要内容一、区间设实数，介于，之间的全体实数的集合叫做区间.闭区间：；有限区间 开区间：)叫做，记作；半开半闭区间：或无限区间：、二、不等式1一元二次不等式（二次项系数，判别式）解法：分解因式，转化为一元一次不等式组；解集： 0的解集是. 0 时） 解集为 解集为()的解法 转化为()的解法 转化为注意： 不等式的解集要写成区间形式。有时也写成不等式形式。注意：如果含等号，则相应的解集要用闭区间记号。注意：“或”字意味求并。例4 不等式5的解集是【 】（A） （B）（C） （D）分析 5，将各边加2，得-3x7。解集写成区间形式为（-3，7）。答案：（A）第3章主要内容一、 函数的概念：1定义：如果在某变化过程中有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数。记为。2函数的定义域：使函数表达式有意义的自变量取值的集合.3函数的值域：所有函数值组成的集合。函数的概念包括三个要素：定义域、值域和对应法则. 当函数定义域和对应法则确定后，函数的值域也就随之确定了.因此定义域和对应法则是关键.注意：函数的定义域、值域一般要写成区间形式。例5 函数y =的定义域是【 】.(A) （0,+） (B) （-,1）（1,+）(C) （0, 1）（1,+） (D) 0,1（1,+）分析 所给函数的分子是对数，因此；分母为，所以，应有，即，。综上所述，定义域为且的全体实数。答案：(C)二、函数的性质1函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数：如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就称在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就称在这个区间上是减函数.如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有单调性，这一区间叫做的单调区间. 注意：有些函数在整个定义域内是增函数或减函数，有些函数在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数.图像特征：增函数从左到右上升；减函数从左到右下降。注意：要记住几类函数的单调性。例6 下列函数在（0，）为增函数的是【 】(A) y= (B) (C) (D) y=分析 (A)、(D)选项是底数小于1的指数函数和对数函数，都是减函数；(B) 选项是反比例函数，也是减函数。答案：(C)2.函数的奇偶性：设函数的定义域为：如果对于任意，-，且，那么函数就叫做奇函数； 如果对于任意，-，且，那么函数就叫做偶函数. 既不是奇函数，也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数注意：若函数具有奇偶性，则函数的定义域关于原点对称.图像特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.例7 判断函数的奇偶性。解：函数的定义域为满足不等式组的全体实数，即开区间（-1，1），显然，定义域根据原点对称。任取，所以，函数是奇函数。三、反函数的求法1.把中的看成常量，由关系式经过变形等解出，得到式子.再对调函数中的字母、，改写成.2如果函数与互为反函数. 图像特征：互为反函数的函数图象关于直线对称。例8 点（3，2）关于直线的对称点的坐标为（ ）（A）（-3，-2） （B）（2，3）（C）（-2，3） （D）（-3，2）分析 点关于直线的对称点为。答案：（B）注意：求点关于直线的对称点，只要把的横坐标和纵坐标互换即可。四、二次函数1（）称为二次函数.它的定义域为实数集R，二次函数的图象是一条抛物线.当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，抛物线开口向上.当时，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，抛物线开口向下. 2二次函数的最大、最小值当时，函数在处达到最小值；当时，函数在处达到最大值。注意：最大值、最小值应用题。例9 如图，用15m长的栏杆靠墙围成矩形场地，（靠墙的一面不设栏杆）。写出场地面积y与边长x的函数关系式)当x为多少时，场地面积最大，求出最大值.解：设矩形的另一边为，则，所以，所以，面积，即。这是一个二次函数，且二次项系数，所以，当时，x。答：面积y与边长x的函数关系式为，当时，场地面积最大，最大面积为m。注意：应用题最后要写答。第4章主要内容一、指数与对数1指数及其运算 ； 规定：任何非零实数的0次幂为1，即； 运算法则： 例10 计算. 解：原式= =2对数及其运算如果，那么就叫做以为底的对数，记作,其中，叫做底数，叫做真数，式子叫做对数式.对数的基本性质：（1）负数和零没有对数，即真数；（2）1的对数等于零；（3）底数的对数等于1.；对数恒等式： ；运算性质：（1）； （2）； （3） ； 换底公式： 注意：当对数的底不是10或e时，需要使用计算器求值.二、指数函数函数 (且)叫做指数函数. 图象均在轴上方；都过（0，1）点.当时,在上是增函数.当时,在上是减函数.三、对数函数形如(且)的函数叫做对数函数。 图象在轴的右侧；图象都过点(1,0).当时,在上是增函数.当时,在上是减函数.例11下面函数图像正确的是【 】分析 （B）为减函数；（C）、（D）为增函数；故选（A）。答案：（A）四、指数函数、对数函数的应用-增长率问题。例12 某工厂于2001年购进一台价值300万元的大型设备, 该设备按平均每年4%的折旧率折旧, 问大约经过多少年, 该设备的残值不超过200万元? 解：使用一年后该设备的残值为300；二年后该设备的残值为300；，则x年后该设备的残值为。根据题意，所以， 所以， 10。答：大约经过10年，该设备的残值不超过200万元。注意：1此题必须使用计算器。按键次序为：（2/3）lg/0.96lg=2由于计算的是多少年，因此结果保留到整数位。3一般地，如果题目没有要求精确度，计算结果保留到小数点后两位。第5章主要内容一、角概念推广1.角度制与弧度制的换算： 弧度弧长公式： . 2.终边相同的角一般形式： 集合形式： ， ，二、任意角三角函数定义 在任意角的终边OP上任取一点P(x，y)，它到原点的距离为=（0），称 分别为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数。例13 已知角的终边上一点P (-4，3)，分别求sin、 cos、tan的值.解 因为 所以 sin= cos= tan=三、三角函数符号和特殊值下图可以帮助大家记忆三角函数符号和特殊值例14 .解： 原式=0+（-1）+（-1）+0-=-2。四、同角三角函数的基本关系式。例15 已知，计算：.解：将分子分母同时除以，得原式= =，所以，=。五、诱导公式 教材中公式(55)至(59)是把2 kp +a、-a、p +a、p -a、2p -a的三角函数值转化为 a 的三角函数值的公式，概括记忆为“函数名不变，符号看象限”. 此外在教材5.6中，还给出了a与a的诱导公式，概括记忆为“函数名互余，符号看象限”六、两角和与差的三角函数、二倍角公式: 两角和与差的三角函数：例16 .解： 原式=。例17 设是一元二次方程的两个根,求的值.解：因为是一元二次方程的两个根，所以， 所以，。二倍角公式: 需要注意的是余弦二倍角公式的变形形式有两个,一个是cos2= 2cos2-1,另一个是cos2=1-2sin2,它们有时也被称为升幂公式；再将其变形为cos2=和sin2=,就可以被称为降幂公式.例18 已知求 .解：将两边平方，得 （1）因为 ，所以，（1）式变为：，所以， 。七、三角函数的图象和性质: 要求从图象上看出函数的定义域、值域；最大值、最小值；例19. 使有意义的m的取值范围是_.分析 因为，所以，。解此绝对值不等式，得答案：。或填写1，2八、已知三角函数值求在区间内的角。已知 结论 两解（一个锐角、一个钝角） 一解（一个锐角） 一解（一个钝角） 一解（一个钝角） 一解（一个锐角）方法：使用计算器。例20 （0），则的所有可能值是【 】（A） （B）或 （C）或 （D）分析 因为0，所以，在（0，）内有两个角，所以，选项（A）、（D）被排除；又因为，所以，选项（C）正确。答案：（C）九、解三角形:任意三角形有六个元素，三条边和三个角，已知其中一些元素，求其它未知元素的值叫做解三角形.解斜三角形的问题.要注意的是无论什么样的已知条件，在已知条件中至少要知道一条边；在解斜三角形时，已知条件不同，可能有一解、两解；还可能无解.解斜三角形主要利用正弦定理、余弦定理、余弦定理变形求角公式、面积公式等.解三角形主要依据下述公式正弦定理：余弦定理：三角形内角公式：三角形面积公式：例21 在ABC中，AB=4，BC=6，ABC=60，则AC=【 】（A）28 （B）76 （C）2 （D）分析 用余弦定理=，所以，答案：（C）第6章主要内容一、数列概念1数列定义：按照一定次序排成的一列数叫做数列.2通项公式：一般的,若数列的一般项与项序号n之间能用一个公式表示,则称公式为数列的通项公式.注意：通项公式可以：1求数列中指定的项，带入序号即可。2.可以判断给定的数是否在数列中。例22 数列的通项公式为 .分析 ，观察归纳：。答案：。二、等差数列1等差数列定义： 2等差数列的通项公式： 3等差中项： 4前项和公式： 或三、等比数列1等比数列定义： 2等比数列的通项公式： 3等比中项： 注意，一般的说，求两个已知数的等比中项有两个：。4等比数列前项和公式： 注意：在应用时经常遇到三个数成等差或等比数列的问题。例23.三个正数成等差数列，和为15，若将这三个数分别加上1，4，19后得到的三个数成等比数列，求这三个正数.解：设三个正数为，则，解得。所以，三个数依次为，将这三个数分别加上1，4，19后得到，因此，根据题意，得整理得，解方程，得。所以，所求的三个数为2，5，8。注意：舍去，是因为当时，为负数，与已知矛盾。所求的三个数为。关于函数功能计算器的使用说明：1计算有关三角函数问题时注意：计算器显示屏的状态，如果是DEG状态，输入角