第四、五章答案

1.设连续型随机变量X的分布函数为： F(x) = a + b arctan x; 求 : (1). a=? b=? (2). X的密度函数. (3). PX2 1, (4).E(X).解: (1)由分布函数性质：F()=0, F(+)=1 解得：a=1/2 b=1/p(2). X的密度为: f(x) = F(x) =1/(1+x2)(3). PX21=1P1X 11F(1)F(1)1/ 2(4). E(X)=发散； 故E(X)不存在。2.已知随机变量X 的分布函数为： , 求D(X)；X2的密度。解：随机变量X 的密度函数为： E(X)=E(X2)=14；D(X)= E(X2)- E(X)2=令：Y=X2, FY(y)=P(X2y), 当y0时：FY(y)=0当01时：FY(y)=P(X2y) =3.某厂生产的一种零件其尺寸（单位：cm）XN (m, 1),当X20或X10时为不合格品，10 X 20为合格品，各种尺寸的零件盈利为： 求：m为何值时盈利最大。解：XN (m, 1) PX20=1F(20m)，P10 X 20=F(20m)F(10m) Z的概率分布为：Z 5 20 10P F(10m)， F(20m)F(10m)，1F(20m)E(Z)=5F(10m)20F(20m)F(10m)101F(20m) =30F(20m)25F(10m)10 两边取对数得： 解以上方程得:；当时盈利最大。注意: 本题计算关键在于F(x)的导数就是标准正态分布的密度函数。4.设在线段0, a上任意掷两点，(各自独立地服从均匀分布)， 以Z表示两点之间的距离。(1).求Z的概率密度函数。(2). 求E(Zn)和D(Zn)。解：设两点坐标分别为X，Y；则X、Y相互独立，且均服从0，a上均匀分布。所以(X，Y)的联合密度为：Z=的值域为0, a。Z的分布函数FZ(z)=PZz=。 当za时：FZ(z)=1,当0za与B=Ya独立,且P(AB)= 求a;(2) 求的数学期望。解: (1)由题意:P(A)=PXa=P(B)因为: A与B相互独立,所以:P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A) -P(A)P(B) =P(A)2 -P(A)= (2)6.设X的密度函数为， 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望。解：由题意知Y 得所有取值为：0, 1, 2, 3, 4。PX=。 YB(4,)E(Y)=4=2, D(Y)=4=1, E(Y2)=D(Y)+ E(Y)2=1+4=5注意: 这里反用方差的简算公式,简化了计算。7.设随机变量X，Y相互独立都服从正态分布N(0,),Z=,求E(Z),D(Z)。解:且X,Y相互独立。令T=X-Y T=X-Y即。D(Z)=E(Z2)-E(Z)2 E(Z2)= E(T2) =D(T)+E(T)2=1 D(Z)=1-注意：本题利用方差简算公式及正态分布中参数的意义简化了计算。8.已知随机变量N(1，9)，N(0，16)，、的相关系数，设Z，求： (1). E(Z)和D(Z)；(2).与Z 的相关系数；解：(1)N(1，9)，N(0，16) E()1，E()0，D()9，D()16 E(Z)EE()+E() D(Z)D= 而D(Z)3(2)=0 9.设随机变量X的概率分布密度为: 。 (1) 求X的数学期望E(X)和方差D(X)。 (2) 求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？ (3) X与|X|是否相互独立？为什么？解:(1).，D(X)=(2).(奇函数对称区间)D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)-1=2-1=1 X与|X|不相关(3). 10.随机变量X的密度函数为:已知E(X)=2,P1X7=。 求a,b,c的值。解: