人教版初二上数学培优精编讲义教师版

未来艺术学校八年级数学培优班未来艺术学校八年级数学培优班 假期讲义假期讲义 姓名姓名 学校学校 班级班级 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 2 第十一章第十一章 全等三角形及其应用全等三角形及其应用 知识精读知识精读 1 全等三角形的定义 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 两个全等三角形中 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫对应边 互相重合的角叫对应角 2 2 全等三角形的表示方法 全等三角形的表示方法 若 ABC 和 A B C 是全等的三角形 记作 ABC A B C 其中 读作 全等于 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3 全等三角形的的性质 全等三角形的的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 4 寻找对应元素的方法寻找对应元素的方法 1 根据对应顶点找 根据对应顶点找 如果两个三角形全等 那么 以对应顶点为顶点的角是对应角 以对应顶点为端点的边 是对应边 通常情况下 两个三角形全等时 对应顶点的字母都写在对应的位置上 因此 由全等三角形的记法便可写出对应的元素 2 根据已知的对应元素寻找 根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 3 通过观察 想象图形的运动变化状况 确定对应关系 通过观察 想象图形的运动变化状况 确定对应关系 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析 可以看出其中一个是由另一个 经过下列各种运动而形成的 翻折翻折 如图 1 BOC EOD BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的 旋转旋转 如图 2 COD BOA COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的 平移平移 如图 3 DEF ACB DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 3 5 判定三角形全等的方法 判定三角形全等的方法 1 边角边公理 角边角公理 边边边公理 斜边直角边公理 2 推论 角角边定理 6 注意问题 注意问题 1 在判定两个三角形全等时 至少有一边对应相等 2 不能证明两个三角形全等的是 a 三个角对应相等 即 AAA b 有两边和其中一 角对应相等 即 SSA 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具 同时也是移动图形位置的工具 在平 面几何知识应用中 若证明线段相等或角相等 或需要移动图形或移动图形元素的位置 常 常需要借助全等三角形的知识 分类解析分类解析 全等三角形知识的应用 1 证明线段 或角 相等证明线段 或角 相等 例例 1 如图 已知 AD AE AB AC 求证 BF FC 分析 由已知条件可证出 ACD ABE 而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC 中 因此先证明 ACD ABE 再证明 DBF ECF 既可以得到 BF FC 证明 在 ACD 和 ABE 中 AE AD A A AB AC ACD ABE SAS B C 全等三角形对应角相等 又 AD AE AB AC AB AD AC AE 即 BD CE 在 DBF 和 ECF 中 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 4 B C BFD CFE 对顶角相等 BD CE DBF ECF AAS BF FC 全等三角形对应边相等 2 证明线段平行 证明线段平行 例例 2 已知 如图 DE AC BF AC 垂足分别为 E F DE BF AF CE 求证 AB CD DC BA E F 分析 要证 AB CD 需证 C A 而要证 C A 又需证 ABF CDE 由 已知 BF AC DE AC 知 DEC BFA 90 且已知 DE BF AF CE 显然证明 ABF CDE 条件已具备 故可先证两个三角形全等 再证 C A 进一步证明 AB CD 证明 DE AC BF AC 已知 DEC BFA 90 垂直的定义 在 ABF 与 CDE 中 AF CE 已知 DEC BFA 已证 DE BF 已知 ABF CDE SAS C A 全等三角形对应角相等 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 5 AB CD 内错角相等 两直线平行 3 证明线段的倍半关系 证明线段的倍半关系 可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例例 3 如图 在 ABC 中 AB AC 延长 AB 到 D 使 BD AB 取 AB 的中点 E 连接 CD 和 CE 求证 CD 2CE 分析 折半法 折半法 取 CD 中点 F 连接 BF 再证 CEB CFB 这里注意利用 BF 是 ACD 中位线这个条件 证明 取 CD 中点 F 连接 BF BF AC 且 BF AC 三角形中位线定理 1 2 ACB 2 两直线平行内错角相等 又 AB AC ACB 3 等边对等角 3 2 在 CEB 与 CFB 中 BF BE 3 2 CB CB CEB CFB SAS CE CF CD 全等三角形对应边相等 1 2 即 CD 2CE 加倍法 加倍法 证明 延长 CE 到 F 使 EF CE 连 BF 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 6 AEBD C F 4 1 2 3 在 AEC 与 BEF 中 AE BE 1 2 对顶角相等 CE FE AEC BEF SAS AC BF 4 3 全等三角形对应边 对应角相等 BF AC 内错角相等两直线平行 ACB CBF 180o ABC CBD 180o 又 AB AC ACB ABC CBF CBD 等角的补角相等 在 CFB 与 CDB 中 CB CB CBF CBD BF BD CFB CDB SAS CF CD 即 CD 2CE 说明 关于折半法有时不在原线段上截取一半 而利用三角形中位线得到原线段一半的 线段 例如上面折道理题也可这样处理 取 AC 中点 F 连 BF 如图 B 为 AD 中点是利用 这个办法的重要前提 然后证 CE BF 4 证明线段相互垂直证明线段相互垂直 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 7 例例 4 已知 如图 A D B 三点在同一条直线上 ADC BDO 为等腰三角形 AO BC 的大小关系和位置关系分别如何 证明你的结论 C BA O E D 分析 本题没有直接给出待证的结论 而是让同学们先根据已知条件推断出结论 然后 再证明所得出的结论正确 通过观察 可以猜测 AO BC AO BC 证明 延长 AO 交 BC 于 E 在 ADO 和 CDB 中 AD DC ADO CDB 90o OD DB ADO CDB SAS AO BC OAD BCD 全等三角形对应边 对应角相等 AOD COE 对顶角相等 COE OCE 90o AO BC 5 中考点拨 中考点拨 例例 1 如图 在 ABC 中 AB AC E 是 AB 的中点 以点 E 为圆心 EB 为半径画弧 交 BC 于点 D 连结 ED 并延长 ED 到点 F 使 DF DE 连结 FC 求证 F A 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 8 分析 证明两个角相等 常证明这两个角所在的两个三角形全等 在已知图形中 A F 不在全等的两个三角形中 但由已知可证得 EF AC 因此把 A 通过同位角转到 BDE 中的 BED 只要证 EBD FCD 即可 证明 AB AC ACB B EB ED ACB EDB ED AC BED A BE EA BD CD 又 DE DF BDE CDF BDE CDF BED F F A 说明 证明角 或线段 相等可以从证明角 或线段 所在的三角形全等入手 在寻求 全等条件时 要注意结合图形 挖掘图中存在的对项角 公共角 公共边 平行线的同位角 内错角等相等的关系 例例 2 如图 已知 ABC 为等边三角形 延长 BC 到 D 延长 BA 到 E 并且使 AE BD 连接 CE DE 求证 EC ED BCD E F A 分析 把已知条件标注在图上 需构造和 AEC 全等的三角形 因此过 D 点作 DF AC 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 9 交 BE 于 F 点 证明 AEC FED 即可 证明 过 D 点作 DF AC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF BD FD AE BD AE BF FD AE AF BF AF 即 EF AB EF AC 在 ACE 和 DFE 中 EF AC 已证 EAC EDF 两直线平行 同位角相等 AE FD 已证 AEC FED SAS EC ED 全等三角形对应边相等 题型展示 题型展示 例例 1 如图 ABC 中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 分析 在 AB 上截取 AE AC 构造全等三角形 AED ACD 得 DE DC 只需 证 DE BE 问题便可以解决 证明 在 AB 上截取 AE AC 连结 DE AE AC 1 2 AD AD AED ACD DE DC AED C AED B EDB C 2 B 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 10 2 B B EDB 即 B EDB EB ED 即 ED DC AB AC DC 剖析 证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种 一种是截长法 即在长 线段上截取一段等于两条短线段的一条 再证余下的部分等于另一条短线段 如作 AE AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性 构造全等三角形 另一种方法是补短法 即延长一条短线段等于长线段 再证明延长的部分与另一条短线段相等 其目的是把证 明线段的和差转化为证明线段相等的问题 实际上仍是构造全等三角形 这种转化图形的能 力是中考命题的重点考查的内容 实战模拟实战模拟 1 下列判断正确的是 A 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B 有两边对应相等 且有一角为 30 的两个等腰三角形全等 C 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2 已知 如图 CD AB 于点 D BE AC 于点 E BE CD 交于点 O 且 AO 平分 BAC 求证 OB OC 3 如图 已知 C 为线段 AB 上的一点 ACM 和 CBN 都是等边三角形 AN 和 CM 相交 于 F 点 BM 和 CN 交于 E 点 求证 CEF 是等边三角形 4 如图 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 A B C M N E F 1 2 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 11 求证 ADAC A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D 自 D 作DE AB 于 E DF ACF 于 求证 BF CG 1 轴对称的性质 轴对称的性质 关于某条直线对称的图形是全等形 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分 那么 这两个图形关于这条直线对 称 2 2 轴对称作 画 图 轴对称作 画 图 画图形的对称轴 如果一个图形关于某直线对称 那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对 C E A D B F G A B C D E F G A B C F E D 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 19 称轴 画某点关于某直线的对称点的方法 画已知图形关于某直线的对称图形 注意 注意 全等的图形不一定是轴对称的 轴对称的图形一定是全等的 性质 的作用是判定两个图形是否关于某直线对称 它是作对对称图形的主要依据 例例 8 如图 ABC 和 A B C 关于直线对称 下列结论中 ABC A B C BAC B AC l 垂直平分 CC 直线 BC 和 B C 的交点不一定在 l 上 正确的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 举举一反三 一反三 1 如图 ABC 与 A B C 关于直线 l 对称 则 B 的度数为 A 50 B 30 C 100 D 90 30 l C B A B C A 50 2 如图六边形 ABCDEF 是轴对称图形 CF 所在的直线是它的对称轴 若 AFC BCF 150 则 AFE BCD 的大小是 150 300 210 330 例例 9 如图 点 P 在 AOB 内 点 M N 分别是点 P 关于 AO 的对称点 BO 的对称点 若 PEF 的周长为 15 求 MN 的长 F E D C B A F E A O B P M N 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 20 等腰三角形专题讲解等腰三角形专题讲解 知识精读知识精读 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1 有关定理及其推论有关定理及其推论 定理 等腰三角形有两边相等 定理 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 这就是说 等腰三角形的 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 推论 2 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 等腰三角形是以底边的 垂直平分线为对称轴的轴对称图形 2 定理及其推论的作用定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系 由两边相等推出两 角相等 是今后证明两角相等常用的依据之一 等腰三角形底边上的中线 底边上的高 顶 角的平分线 三线合一 的性质是今后证明两条线段相等 两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据 二 等腰三角形的判定 二 等腰三角形的判定 1 有关的定理及其推论有关的定理及其推论 定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对 等边 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 推论 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一 半 2 定理及其推论的作用 定理及其推论的作用 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系 它是证明线段相等的重要定 理 也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据 是本节的重点 3 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线 底边上的高 底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题 的辅助线 由于这条线可以把顶角和底边折半 所以常通过它来证明线段或角的倍分问题 在等腰三角形中 虽然顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 添加辅助线时 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 21 有时作哪条线都可以 有时需要作顶角的平分线 有时则需要作高或中线 这要视具体情况 来定 分类解析分类解析 例例 1 如图 已知在等边三角形 ABC 中 D 是 AC 的中点 E 为 BC 延长线上一点 且 CE CD DM BC 垂足为 M 求证 M 是 BE 的中点 A D 1 B M C E 分析 分析 欲证 M 是 BE 的中点 已知 DM BC 所以想到连结 BD 证 BD ED 因为 ABC 是等边三角形 DBE ABC 而由 CE CD 又可证 E ACB 所以 2 1 2 1 1 E 从而问题得证 证明 证明 因为三角形 ABC 是等边三角形 D 是 AC 的中点 所以 1 ABC 2 1 又因为 CE CD 所以 CDE E 所以 ACB 2 E 即 1 E 所以 BD BE 又 DM BC 垂足为 M 所以 M 是 BE 的中点 等腰三角形三线合一定理 例例 2 如图 已知 中 D 是 BC 上一点 且 ABC ACAB CADCDBAD 求的度数 BAC A B C D 分析 分析 题中所要求的在中 但仅靠是无法求出来的 因此需要考BAC ABC ACAB 虑和在题目中的作用 此时图形中三个等腰三角形 构成了内外角的关DBAD CADC 系 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 22 解 解 因为 所以ACAB CB 因为 所以 DBAD CDABB 因为 所以 等边对等角 CDCA CDACAD 而 DABBADC 所以 BDACBADC 22 所以B3BAC 又因为 180 BACCB 即 所以 180B3CB 36B 即求得 108BAC 说明说明 1 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁 把边的关系转化成角 的关系是此等腰三角形性质的本质所在 本条性质在解题中发挥着重要的作用 这一点在后 边的解题中将进一步体现 2 注意注意 等边对等角等边对等角 是对同一个三角形而言的 是对同一个三角形而言的 3 此题是利用方程思想解几何计算题 而边证边算又是解决这类题目的常用方法 此题是利用方程思想解几何计算题 而边证边算又是解决这类题目的常用方法 例例 3 已知 如图 中 于 D 求证 ABC ABCDACAB DCB2BAC A 1 2 D B C E 3 分析 分析 欲证角之间的倍半关系 结合题意 观察图形 是等腰三角形的顶角 于BAC 是想到构造它的一半 再证与的关系 DCB 证明 证明 过点 A 作于 E BCAE ACAB 所以 等腰三角形的三线合一性质 BAC 2 1 21 因为 90B1 又 所以ABCD 90CDB 所以 直角三角形两锐角互余 90B3 所以 同角的余角相等 31 即DCB2BAC 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 23 说明 说明 1 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质 构造角的倍半关系 因此添加底边的高是一条常用的辅助线 2 对线段之间的倍半关系 常采用 截长补短 或 倍长中线 等辅助线的添加方法 对角间的倍半关系也同理 或构造 半 或构造 倍 因此 本题还可以有其它的证法 如构造出的等角等 DCB 4 中考题型 中考题型 1 如图 ABC 中 AB AC A 36 BD CE 分别为 ABC 与 ACB 的角平分线 且相交于点 F 则图中的等腰三角形有 A 6 个 B 7 个 C 8 个 D 9 个 A 36 E D F B C 分析 分析 由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有 8 个 故选择 C 2 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 DE AB DF AC E F 分别是垂足 求证 AE AF A E F B D C 证明 证明 因为 所以ACAB CB 又因为ACDFABDE 所以 90CFDBED 又 D 是 BC 的中点 所以DCDB 所以 AAS CFDDEB 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 24 所以 所以CFBE AFAE 说明 说明 证法二 连结 AD 通过 证明即可 AEDAFD 5 题形展示 题形展示 例例 1 如图 中 BD 平分 ABC 100 AACAB ABC 求证 BCBDAD A D 1 B 2 E F C 分析一 分析一 从要证明的结论出发 在 BC 上截取 只需证明 考虑到BDBF ADCF 想到在 BC 上截取 连结 DE 易得 则有 只需证明21 BABE FDAD 这就要从条件出发 通过角度计算可以得出 CFDE DEDFCF 证明一 证明一 在 BC 上截取 连结 DE DFBDBFBABE 在和中 ABD EBD BDBD21BEBA 80DEF100ABEDDEAD SAS EBDABD 又 100AACAB 40 100180 2 1 CABC 2040 2 1 21 而BFBD 80 20180 2 1 2180 2 1 BDFBFD ADBDFCBFBC FCDFDEADFCDFCFDC 404080CDFEFDC 40C80DFE DFDE80DFEDEF 即BCBDAD 分析二 分析二 如图 可以考虑延长 BD 到 E 使 DE AD 这样 BD AD BD DE BE 只 需证明 BE BC 由于 只需证明 202 80BCEE 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 25 A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 易证 故作的角平分线 6020100180ADBEDC 120BDC BDC 则有 进而证明 从而可证出 FBDABD DFCDEC 80E 证明二 证明二 延长 BD 到 E 使 DE AD 连结 CE 作 DF 平分交 BC 于 F BDC 由证明一知 100A2021 则有 12060180BDC603660201001803 DF 平分 6054BDC 在和中 606543 ABD FBD 43BDBD21 ASA FBDABD 而 100ABFDFDAD DEDFDEAD 在和中 DEC DFC DCDC65DFDE SAS DFCDEC 80100180BFD180DFCE 在中 BCE 803202 BCEEBCE 80 BCBDADBEBC 说明 一题多证 在几何证明中经常遇到 它是培养思维能力提高解题水平的有效途 径 读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考 去体会 进一步提高自身的解题能 力 实战模拟实战模拟 1 选择题 等腰三角形底边长为 5cm 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm 则腰长为 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 26 A 2cmB 8cmC 2cm 或 8cmD 以上都不对 2 如图 是等边三角形 则的度数是 ABC BCBD90CBD 1 C A 1 D B 2 3 3 求证 等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上 4 中 AB 的中垂线交 AB 于 D 交 CA 延长线于 E 求证 ABC 120AACAB BC 2 1 DE A E D O B C 1 2 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 27 试题答案试题答案 1 B 2 分析 分析 结合三角形内角和定理 计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用 解 解 因为是等边三角形ABC 所以 60ABC BCAB 因为 所以BCBD BDAB 所以23 在中 因为ABD 60ABC90CBD 所以 所以 150ABD 152 所以 75ABC21 3 分析 分析 首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言 已知 已知 如图 在中 D E 分别为 AC AB 边中点 BD CE 交于 OABC ACAB 点 求证 点 O 在 BC 的垂直平分线上 分析 分析 欲证本题结论 实际上就是证明 而 OB OC 在中 于是想到OCOB ABC 利用等腰三角形的判定角等 那么问题就转化为证含有的两个三角形全等 21 证明 证明 因为在中 ABC ACAB 所以 等边对等角 ACBABC 又因为 D E 分别为 AC AB 的中点 所以 中线定义 EBDC 在和 中 BCD CBE CBBC EBCDCB EBDC 公共边 已证 已证 所以 SAS CBEBCD 所以 全等三角形对应角相等 21 所以 等角对等边 OCOB 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 28 即点 O 在 BC 的垂直平分线上 说明 1 正确地理解题意 并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步 特别是把 在 底边的垂直平分线上 正确地理解成 OB OC 是关键的一点 2 实际上 本题也可改成开放题 ABC 中 AB AC D E 分别为 AC AB 上的中点 BD CE 交于 O 连结 AO 后 试判断 AO 与 BC 的关系 并证明你的结论 其 解决方法是和此题解法差不多的 4 分析 分析 此题没有给出图形 那么依题意 应先画出图形 题目中是求线段的倍半关系 观察图形 考虑取 BC 的中点 证明 证明 过点 A 作 BC 边的垂线 AF 垂足为 F E A 3 1 2 D B F C 在中 ABC 120BACACAB 所以 30CB 所以 等腰三角形三线合一性质 BC 2 1 BF6021 所以 邻补角定义 603 所以31 又因为 ED 垂直平分 AB 所以 直角三角形两锐角互余 30E 线段垂直平分线定义 AB 2 1 AD 又因为 直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半 AB 2 1 AF 所以AFAD 在和中 ABFRt AEDRt 90ADEAFB ADAF 31 已证 已证 1 3 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 29 所以 ASA AEDRtABFRt 所以BFED 即 BC 2 1 ED 说明 说明 1 根据题意 先准确地画出图形 是解几何题的一项基本功 2 直角三角形中角的特殊关系 沟通了边之间的数量关系 为顺利证明打通了思 30 路 第十三章第十三章 实数实数 知识要点知识要点 一 实数 有理数和无理数统称为实数 1 实数有以下两种分类方法 1 按定义分类 2 按大小分类 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数或无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 负实数 正实数 实数 0 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 30 2 实数中的倒数 相反数 绝对值概念和有理数一样 例如的相反数为 倒数为3 3 的绝对值为 3 3 3 1 3 33 3 实数与数轴上点的关系 实数和数轴上的点是一一对应的 即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 反过 来 数轴上的每一个点都可以用一个实数表示 4 实数的运算 1 关于有理数的运算律和运算性质 在实数范围内仍适用 2 涉及无理数的计算 可根据问题的要求取其近似值 转化为有理数进行计算 二 二次根式 一般地 式子叫做二次根式 其中叫做被开方数 a 0a a 1 二次根式的性质 1 0 2 aaa 2 0 0 0 0 2 aa a aa aa 2 最简二次根式 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 即被开方数不含有分母 2 被开方数中不含有能开尽方的因数或因式 即被开方数中每个因数或因式的指数 都小于根指数 2 3 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 那么这几个 二次根式叫同类二次根式 4 二次根式的运算 1 二次根式的运算法则 0 ccbacbca 0 0 baabba 0 0 ba b a b a 0 aaa nn 2 分母有理化 3 二次根式的混合运算 三 非负性及应用 1 非负数包括正数和零 2 常见的非负数有实数的绝对值 实数的偶次方 非负实数的算术平方根等 用符号表示 如下 若 a 是实数 则 0a 若 a 是实数 则 n 为正整数 当 n 1 时 a2 0 2 0 n a 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 31 n 为正整数 在实数范围内有意义 则 此时 2n a0a 0a 3 非负数有如下性质 有限个非负数之和是非负数 有限个非负数之和是零 则每一个非负数是零 典例解析典例解析 1 无理数的识别与估算方法 例 1 1 在实数 3 14 0 10110111011110 2 5 3 3333 30 412 中 哪些是有理数 哪些是无理数 256 2 估算的值 324 A 在 5 和 6 之间 B 在 6 和 7 之间 C 在 7 和 8 之间 D 在 8 和 9 之间 2 实数的大小比较方法 例 2 1 1 比较大小 比较大小 7 7 填 填 或或 50 2 2 已知 已知 则 则 的大小关系为的大小关系为 53 a112 bab 3 3 比较大小 当实数 比较大小 当实数时 时 填 填 或或 0 aa 1a 1 3 实数有数轴的关系 例 3 如右图 数轴上点A表示的数为x 则x2 13 的立方根是 A 13 B 13 C 2 55 D 2 4 实数的运算 例例 4 4 1 1 21522332 2 2 3620016662 0 1 3 3 1 2 3332 933645 22 4 4 75 3 1 3 1 234 5 实数性质的使用 例 5 1 化简 2 mm 0 m 2 实数a b在数轴上所对应的点的位置如图所示 则 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 32 2a 0 a b 0 b a 0 2a a b 例 6 1 已知 求的值 5 2005 2 22 x xx y x y 2 已知的整数部分为 小数部分为 则 57 abba 课堂检测课堂检测 1 在中 属于有理数的是 属于无理数的是 3 8 5 0 5 2 16 17 2 2 1 27 3 1 1 3 3 1 3 2 182712 64 17 1 3 若 2 0ababa 则 4 计算 232 3 比较大小 1 2 3 2 3 1253 62 4 下列语句中不正确的是 A 无理数是带根号的数 其根号下的数字开方开不尽 B 8 的立方根是 2 C 绝对值等于的实数是 D 每一个实数都有数轴上的一个点与它对应 66 5 与相乘 结果为 1 的数是 32 A B C D 332 32 32 6 下列计算正确的是 A B C D 352332 228 26255 66 2 7 数轴上表示实数的点在表示的点的左边 则式子的值是 x1 22 122 xx A 正数B 1C 小于 1D 大于 1 8 化简 甲 乙两同学的解法如下 甲 25 3 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 33 25 2525 253 25 3 乙 对于他们的解法 正确的是 25 25 2525 25 3 A 甲 乙的解法都正确B 甲正确 乙不正确 C 甲 乙的解都错误 D 正确 甲不正确 9 计算或化简 1 646 6 1 33 2 2 2 2121 2 xxx 3 8 9 2 3 3 4 4 233221 5 已知 求 1 32 a 22 11 44aa aa 6 已知的值 22 2 3 2 1 2 3 2 1 yxyx 求 10 已知 y 18 求代数式的值 xx 88yx 11 细心观察右图和认真分析下列各式 然后解答问题 21 1 2 2 1 1 s 31 2 2 2 2 2 s 41 3 2 2 3 3 s 1 请用含的 为正整数 的等式表示上述变化的规律 nn 2 推算出 5 OA 10 OA 4 s 9 s 3 求出的值 2 10 2 2 2 1 sss 第十四章第十四章 一次函数一次函数 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 34 一一 函数函数 在某变化过程中 存在 个变量 x y y 随 x 的变化而发生变化 对于 x 在其取值范 围内 每一个确定的值 y 都有 的值与之对应 我们称 y 是 x 的函数 练习 函数 y 中自变量的取值范围是 y 中 x 的取值范围是 1x 1 1 x 二二 一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数 1 1 概念 概念 若两个变量 x y 间的关系式可以表示成 y kx b k b 为常数 k 0 的形式 则称 y 是 x 的 x 为自变量 特别地 当 b 0 时 称 y 是 x 的 1 一次函数的自变量的取值范围是一切实数 但在实际问题中要根据函数的 来确定 2 一次函数 y kx b k b 为常数 k 0 中的 一次 和一元一次方程 一元一次不等 式中的 一次 意义相同 即自变量 x 的次数为 1 一次项系数 k 必须是不为零的常数 b 可为任意常数 练习 已知函数 2 2 3 nxmy m 1 若是一次函数 应满足什么条件 2 若是正比例函数 应满足什么条件 2 一次函数的图象一次函数的图象 由于一次函数 y kx b k b 为常数 k 0 的图象是一条直线 所以一次函数 y kx b 的图象也称为直线 y kx b 此直线与 y 轴的交点 与 x 轴的交点 画正 比例函数 y kx 的图象时 只要描出点 0 1 即可 3 3 一次函数性质 一次函数性质 1 性质 2 点 P x0 y0 与直线 y kx b 的图象的关系 A 如果点 P x0 y0 在直线 y kx b 的图象上 那么 x0 y0的值必满足解析式 y kx b B 如果 x0 y0是满足函数解析式的一对对应值 那么以 x0 y0为坐标的点必在函数的图象 上 3 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 A 由于正比例函数 y kx k 0 中只有一个待定系数 k 故只需一个条件 如一对 x y 的 值或一个点 就可求得 k 的值 函数 kb 位置Y随x的变化草图 变化的世界 函数一次函数 一元一次方程 一元一次不等 式 二元方程 组 性 质 图 像 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 35 B 由于一次函数 y kx b k 0 中有两个待定系数 k b 需要两个独立的条件确定两个关 于 k b 的方程 求得 k b 的值 这两个条件通常是两个点或两对 x y 的值 4 一次函数与方程一次函数与方程 不等式 不等式 1 1 一元一次方程 一元一次不等式及一次函数的关系一元一次方程 一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系 解决此类问题关 键是找到函数 y kx b k 0 k b 为常数 与 x 轴的交点 直线 y kx b 在 x 轴 的上方 也就是函数的值大于零 x 的值是不等式 k 0 的解 在 x 轴的下方也就是 函数的值小于零 x 的值是不等式 k 0 的解 在 x 轴上也就是函数值等于零 x 的值是方程 的解 2 2 一次函数与二元一次方程组的关系一次函数与二元一次方程组的关系 两个函数的交点就是对应的二元一次方程组的解 此时两个函数的值 图像在上 方的函数的值较 热身训练热身训练 1 下列各式 y 是 x 一次函数的为 A B y x2 2x 5 C y 2x D E y a 3F 1 3 2 3 5 2 如图的四个图象中 不表示某一函数图象的是 3 函数 y x 的图象是一条过原点及 2 的直线 这条直线经过第 象限 当 x 增大时 y 随之 4 函数 y 2x 4 与 x 轴的交点是 当 x y0 5 函数 y 3x 5 上取 x1 1 x2 2 比较大小 y1 y2 函数 y m2 1 x 2 m 为常数 有 x1 1 x2 2 比较大小 y1 y2 6 某一次函数图像过一 三 四象限 则 k 0 b 0 7 如右图 判断那些点属于该直线 A 1 3 B 1 1 C 2 2 D 1 1 2 基本训练基本训练 一 填空题 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 36 1 小华用 500 元去购买单价为 3 元的一种商品 剩余的钱 y 元 与购买这种商品的件数 x 件 之间的函数关系是 x 的取值范围是 2 函数 y 2x 4 的图象经过 象限 它与两坐标轴围成的三角形面积为 3 一次函数 y kx b 的图象经过点 1 5 交 y 轴的点的纵坐标是 3 则 k b 4 若点 m m 3 在函数 y x 2 的图象上 则 m 5 直线 y 3 9x 与 x 轴的交点坐标为 与 y 轴的交点坐标为 6 若直线 y kx b 平行直线 y 3x 4 且过点 1 2 则 k b 二 选择题 1 一次函数 y x 1 的图像不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知正比例函数 y kx k 0 的图像过第二 四象限 则 A y 随 x 的增大而减小 B y 随 x 的增大而增大 C 当 x0 时 y 随 x 的增大而减小 D 不论 x 如何变化 y 不变 3 结合正比例函数 y 4x 的图像回答 当 x 1 时 y 的取值范围是 A y 1 B 1 y4 4 如右图 判断直线 k b 值范围 A k 0 b 0 B k 0 b0 b 0 D k0 三 解答题 1 已知 y 与 x 2 成正比例关系 且当 x 3 时 y 6 求函数的表达式 2 已知一次函数的图象经过点 A 1 3 和点 2 3 1 求一次函数的解析式 2 判断点 C 2 5 是否在该函数图象上 3 若函数 y 4x b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为 8 求解析式 4 已知一次函数 y m 4 x m 2 m 为整数 的图象不经过第二象限 求 m 的范 围 5 一次函数 y kx b 的图象经过点 A 0 2 B 1 0 若将该图象沿着 y 轴向上平移 2 个单位 则新图象所对应的函数解析式是什么 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 37 O 6 已知 2y 3 与 3x 1 成正比例 且 x 2 时 y 5 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 并 指出它是什么函数 2 若点 a 2 在这个函数的图象上 求 a 7 一个一次函数的图象 与直线 y 2x 1 的交点 M 的横坐标为 2 与直线 y x 2 的交点 N 的纵坐标为 1 求这个一次函数的解析式 8 某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车 公司签订租车合同 设汽车每月行驶 xKm 个体车主的 月费用是 y1元 出租车公司的月费用是 y2元 y1 y2分别与 x 之间的函数关系图像 如图 观察图像 并回答下列问题 1 每月行驶的路程在什么范围内时 租用公司的车更省钱 2 每月行驶的路程在什么范围内时 租两家的车的费用相同 3 如果这个单位估计每月行驶的路程在 2300Km 那么这个单位租哪家的车比较合算 综合训练综合训练 1 如图 已知直线 l1经过点 A 1 0 与点B 2 3 另一条直线 l2经过点 B 且与 x 轴交于点 P m 0 1 求直线 l1的解析式 2 若 APB 的面积为 3 求 m 的值 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 38 图 2 2 为了鼓励市民节约用水 自来水公司特制定了新的用 水收费标准 每月用水量 x 吨 与应付水费 元 的函数关系如 图 2 1 求出当月用水量不超过 5 吨时 y 与 x 之间的函数关 系式 2 某居民某月用水量为 8 吨 求应付的水费是多少 3 近两年某地外向型经济发展迅速 一些著名跨国公司纷纷落户该地新区 对各类人才需 求不断增加 现一公司面向社会招聘人员 其信息如下 信息一 招聘对象 机械制造类和规划设计类人员共 150 名 信息二 工资待遇 机械类人员工资为 600 元 月 规划设计类人员为 1000 元 月 设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为 x 人 y 人 1 用含 x 的代数式表示 y 2 若公司每月付给所招聘人员的工资为 p 元 要使本次招聘规划设计人员不少于机械制 造人员的 2 倍 求 p 的取值范围 4 我市某乡 A B 两村盛产柑桔 A 村有柑桔 200 吨 B 村有柑桔 300 吨 现将这些柑 桔运到 C D 两个冷藏仓库 已知 C 仓库可储存 240 吨 D 仓库可储存 260 吨 从 A 村运往 C D 两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元 从 B 村运往 C D 两处的费用分别为每吨 15 元 和 18 元 设从 A 村运往 C 仓库的柑桔重量为 x 吨 A B 两村运往两仓库的柑桔运输费用 分别为 yA元和 yB元 1 请填写下表 并求出 yA yB与 x 之间的函数关系式 CD总计 Ax 吨200 吨 B300 吨 总计240 吨260 吨500 吨 2 试讨论 A B 两村中 哪个村的运费较少 3 考虑到 B 村的经济承受能力 B 村的柑桔运费不得超过 4830 元 在这种情况下 请问怎样调运 才能使两村运费之和最小 求出这个最小值 收 地运 地 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 39 第第 1515 章章 整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解 一 基础知识一 基础知识 1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 m n 都是正整数 即同底数幂相乘 底数不变 指数相 mnm n aaa A 加 2 幂的乘方 幂的乘方 m n 都是正整数 即幂的乘方 底数不变 指数相乘 mnmn aa 3 积的乘方 积的乘方 n 为正整数 即积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 n nn aba b 再把所得的幂相乘 4 整式的乘法 整式的乘法 1 单项式的乘法法则 一般地 单项式相乘 把它们的系数 相同字母的幂分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘 就是根据乘法分配律 用单项式乘多 项式的每一项 再把所得的积相加 可用下式表示 m a b c ma mb mc a b c 都表示单项式 3 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项 再把所得的积相加 5 乘法公式 乘法公式 1 平方差公式 平方差公式 平方差公式可以用语言叙述为 两个数的和与这两个的差积等于这两个 数的平方差 即用字母表示为 a b a b a2 b2 其结构特征是 公式的左边是两个一 次二项式的乘积 并且这两个二项式中有一项是完全相同的 另一项则是互为相反数 右边 是乘式中两项的平方差 2 完全平方公式 完全平方公式 完全平方公式可以用语言叙述为 两个数和 或差 的平方 等于 第一数的平方加上 或减去 第一数与第二数乘积的 2 倍 加上第二数的平方 即用字母 未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义 40 表示为 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 其结构特征是 左边是 两个数的和或差 的平方 右边是三项 首末两项是平方项 且符号相同 中间项是 2ab 且符号由左边的 和 或 差 来确定 在完全平方公式中 字母 a b 都具有广泛意义 它们既可以分别 取具体的数 也可以取一个单项式 一个多项式或代数式 如 3x y 2 2 3x y 2 2 3x y 2 22 9x2 6xy 12x y2 4y 4 或者 3x y 2 2 3x 2 2 3x y 2 y 2 2 9x2 6xy 12x y2 4y 4 前者是把 3x y 看成是完全平方公式中的 a 2 看成是 b 后者是 把 3x 看成是完全平方公式中的