2014年华师在线秋季《数学分析选论》在线作业.doc

2014年秋季数学分析选论在线作业1. 计算, 其中是圆周, ，若从轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.解： 平面的法线方向单位向量为，围成方程为 依斯托克斯公式得，=.2. 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1） , ；（2） .解： (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为0，但是, 所以重极限不存在.(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 ， 所以.3. 设是由方程，求.解： 方程两边对求偏导，有, 因而 . 方程两边对求偏导，有 ,因而 . 故 .4. 计算, 其中为由平面, , , , 与所围成.解： 在平面上的投影区域为, 于是5. 设 是某可微函数的全微分，求的值.解： 不妨设该可微函数为，则按定义可得 ，由此知. 从而又得 .联系到上面第一式，有 或 ,从而 .6. 求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解： 曲面方程表示为 , , , 于是所求面积S=7. 计算，其中为以，为顶点的正方形封闭围线.解： 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，.段：直线方程 ，段：直线方程 ，于是有， =0 .8. 求曲面被平面截下部分之曲面面积S.解： 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有 .9. 求, 其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解： 用轴上直线段, 使上半圆周和直线段构成封闭曲线. 设, .有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上, 有, , 则.因此 10. 试讨论函数 在处的可微性.解： 因为, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.11. 求, 其中S是边长为的正方体的外侧.解： 利用高斯公式, 得12. 计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解： 设，则 原式 13. 设由方程 所确定，试求.解： 对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即 ，再对上式两端对求导，得 .14求表面积为, 而体积最大的长方体的体积.解： 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 . 设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为.15求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解： 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为 16. 设, 求.解： 方程组两边对求偏导得到 , 因此有，。方程组两边对求偏导得到, 因此 17. 设 , 而 , . 求, . 和解： 由于 , , , , 于是, .18. 设 . 求 , .解： 这里是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式, , . 由复合函数求导法则知.于是 , 19. 变换为球面坐标计算积分 .解：积分区域变换为球面坐标为 .于是, =20. 设函数连续，,其中，求和 .解： 因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便 .于是, . 利用洛必达法则, 有.21. 解答下列问题（1）设 是光滑弧上的连续函数，长度记为，则， ， (2) 设， ， 则，（3）设是曲线 上从到之线段，证明: .解： (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用极坐标，可得.由此知 , 利用题（1），有 ， （3）因为 ，所以 ， 。 .将曲线用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知22. 计算 ， 其中 S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解： 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是, .23. 讨论下列函数的连续性（1）（2）解： （1）注意到 ， 有因此,，即 在（0，0）处连续.（2）注意到 , 故在（0，0）处不连续.24. 计算曲面积分, 其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解： 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是 25. 设是由直线 和 围成, 试求 的值.解： 先对积分后对积分 .由分部积分法, 知 26. 设是上的正值连续函数，试证，其中是 ，.证明： 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此27. 设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证： 对于复合函数 ，, 由于 ， =+，因此当时，与无关，即在极坐标系里只是的函数.28. 证明： 方程所确定的隐函数 满足.