立体几何问题的模型化处理.doc

立体几何问题的模型化处理广西 王强芳 湖北 曾详红 中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究.高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一个台阶，是摆在广大数学教师面前的一大难题。笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等.1 构造正方体模型解题 当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时、通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决. 例1 对于直线和平面，下面问题中的真命题是A，如果，是异面直线，那么B，如果，是异面直线，那么与相交C，如果，共面，那么ABCDA1B1C1D1图1D，如果，共面，那么分析：构造正方体，如图1，对于A，设为平面ABCD，为AB，为则，A错.对于B，设为平面ABCD，为AB，为，则，B错.对于D，设为平面ABCD，为，为，此时与相交于，D错.于是选C。事实上，这个不难验证.例2 由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角.解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O到四个顶点A、B、C、D连线所夹的CBA1AD图2O角相等，则就是所求的角.设正方体的棱长为，则，则所求的角为.BCDAB1C1D1A1图3EF 评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决.正四面体的体积是它外接“正方体”体积的，并可由这个模型推导出正四面体的体积（为四面体的棱长）. 例3 已知平面及以下三个几何体， （1）长、宽、高均不相等的长方体； （2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥； （3）正四面体 问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗？请加以说明.BCDAB1C1D1A1图4 分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起到一定高度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形. 对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断.对于（2），如图3，在正方体中，分别在、上取E、F，使得，则四棱锥符合条件. 对于（3），把正四面体放在正方体中，如图4，即可得其在底面上的射影为正方形. 评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出一个正方形. 例4 已知平面ABC，求AB与PC所成的角.BCAB1PD图5 解：构造一个正方体，如图5，PC与AB两异面直线所成的角为DB与AB所成的角，而是等边三角形，得PC与AB成角. 评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交.2 构造长方体模型解题 在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型. 例5 过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，且，求球O的半径. 分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有=，得. 评注：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以. 例6 已知四面体的四个面都是边长分是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积.B1C1D1A1BCDA图6 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁. 通过分析已知条件，构造长方体，如图6，其中四面体符合条件。令AC=5，由勾股定理得， 得. 评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的. 例5是全日制普通高中教科书数学第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题.3 构造“三节棍”模型解题ABCDEF图7 全日制普通高中教科书（实验修订本必修）第二册（下B）第80页复习参考题九第2题给出了三条棱AB、BC、CD，这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质： （1）平面ABC，平面BCD； （2）相邻两节所在的三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即平面ACD，CF平面ABC）. 此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我把它称为“三节棍”模型. 利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题，应用十分广泛.ABDCF图8E 例7 如图8，在三棱锥中，AB、BC、CD两两垂直. （1）由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，哪些是直二面角？ （2）若AD与平面BCD成，AD与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值. 分析：（1）可由找三棱锥各个面的垂线入手.AB、BC、CD两两垂直成“三节棍”模型， 得平面BCD，又平面ABD，得平面ABD平面BCD，且面ABC面BCD. 同理，等都是直二面角. （2）由平面BCD，得为AD与平面BCD所成的角，于是. 同理，作BEAC于点E，作BFAD于点F，连结EF，可得BE面ACD. 因BFADEFAD，得是二面角的平面角. 又，. 故，即二面角的余弦值为.PDCB图9AFEN 例8 如图9，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离. 分析：（1）略； （2）因PAAD，ADDC，即PA、AD、DC两两垂直. 故PA、AD、DC构成了一个三节棍模型. 过D作AC的垂线DF交AB于F，由性质（2）DF面PAC，且知，连结PF，则N为PF的中点即为所求的点. 因EN/DF，而DF面PAC，得EN面PAC. 此时，N到AB的距离为. 评注：这是2005年湖北省高考理科第20题，第（2）问中，要在平面PAB内找一点N，使NE面PAC，具有一定的难度，它主要考查非正常位置下的三垂线定