等比数列课件.doc

等比数列教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法. 1简介公式一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标）。等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。（1）等比数列(Geometric Sequences)的通项公式是：an=a1q（n1）【（a10，q0）。】（1、n均为下标）（2）求和公式：Sn=na1(q=1)任意两项am，an的关系为an=amq(n-m)；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k-1，k1,2,，n（4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项。等比中项公式：an/a(n-1)=a(n+1)/an或者a(n-1)a(n+1)=an2（括号内文字、n均为下标）（5）无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：an是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+anB=an+1+a2nC=a2n+1+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=qn2.若A=a1+a4+a7+a3n-2B=a2+a5+a8+a3n-1C=a3+a6+a9+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q2性质(1)若 m、n、p、qN*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq；(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。(3)“G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”.(4)若an是等比数列，公比为q1，bn也是等比数列，公比是q2，则a2n，a3n是等比数列，公比为q12，q13can，c是常数，an*bn，an/bn是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)=A1(qn-1)/(q-1)=(A1qn)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。注意：上述公式中An表示A的n次方。(9)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。3求通方法（1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）a（n+1）=2an+x，a（n+1）=2an+3 x=3所以（a（n+1）+3）/（an+3）=2an+3为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q(n-1)=4*2(n-1),an=2(n+1)-3(2) 定义法：已知Sn=a2n+b,，求an的通项公式。Sn=a2n+bSn-1=a2n-1+ban=Sn-Sn-1=a2n-14应用等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期例1设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则ak=a1q(k-1)，al=a1q(l-1)，am=a1q(m-1)，an=a1q(n-1)所以：ak*al=a2*q(k+l-2)，am*an=a2*q(m+n-2)，故：ak*al=am*an例2每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次后,存留的污垢在1%以下,则n的最小值为多少?1.等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求a2的值.解：设洗之前的污垢为1个单位.洗1次剩下污垢为(1-3/4)=1/4洗2次剩下