2017_18学年高中数学第二章2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析.docx

24.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积提出问题一个物体在力F的作用下产生位移s，如图问题1：如何计算这个力所做的功？提示：W|s|F|cos .问题2：力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos .问题3：力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关导入新知1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos 记法ab|a|b|cos (2)零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：向量b在a的方向上的投影为|b|cos .向量a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积化解疑难透析平面向量的数量积(1)向量的数量积ab，不能表示为ab或ab.(2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定设两个非零向量a与b的夹角为，则当0时，cos 1，ab|a|b|；当为锐角时，cos 0，ab0；当为钝角时，cos 0，ab0；当为直角时，cos 0，ab0；当180时，cos 1，ab|a|b|.平面向量数量积的性质和运算律提出问题已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角问题1：若ab0，则a与b有什么关系？提示：ab0，a0，b0，cos 0，90，ab.问题2：aa等于什么？提示：aa|a|2cos 0|a|2.问题3：在什么条件下可求cos ？提示：已知ab及|a|b|时，可得cos .导入新知1向量数量积的性质设a与b都是非零向量， 为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.2向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)化解疑难辨析向量数量积与实数运算(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线向量数量积的运算例1(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab; (ab)(a2b)(2)如图，设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.类题通法向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算活学活用1(山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2Ba2C.a2 D.a2答案：D2已知正方形ABCD的边长为2，分别求：(1)；(2)；(3).答案：(1)4(2)0(3)4与向量的模有关的问题例2(1)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)已知|a|2，|b|4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度解(1)3(2)平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|ab|，|ab| 2.类题通法向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|，但计算两向量的和与差的长度用|ab| .活学活用已知向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.答案：两个向量的夹角和垂直问题例3(1)(重庆高考)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角解(1)A(2)由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，. 类题通法求向量a，b的夹角的思路(1)求向量的夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值活学活用1如果向量a和b满足|a|1，|b|，且a(ab)，那么a和b的夹角的大小为()A30 B45C75 D135答案：B2已知|a|3，|b|2，向量a，b 的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直答案：m时，c与d垂直典例设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_解析由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，画出2t215t70的图象，如图若2t215t70，则t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得所求实数t的取值范围是.答案易错防范1本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te17e2与e1te2的夹角为时，也有数量积小于0的情况，从而得出t的错误答案2由于ab0包含了其夹角为0的情况，在求解时应注意排除成功破障已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，则向量abc的长度为()A6B.C3 D6或答案：D随堂即时演练1下列命题：(1)若a0，abac，则bc；(2)(ab)ca(bc)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2|a|2.其中正确的命题有()A0个B1个C2个 D3个答案：B2若|a|4，|b|6，a与b的夹角为135，则a(b)等于()A12 B12C12 D12答案：C3若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_答案：1204已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.答案：75设非零向量a和b，它们的夹角为.(1)若|a|5，|b|4，150，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；(2)若ab9，|a|6，|b|3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角.答案：(1)|a|cos ，ab10(2)|b|cos ，60课时达标检测一、选择题1若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30B60C120 D150答案：C2在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形答案：B3已知向量a，b的夹角为120，|a|b|1，c与ab同向，则|ac|的最小值为()A1 B.C. D.答案：D4在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A. B.C D答案：A5.如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则等于()A2 B.C. D.答案：D二、填空题6在RtABC中，C90，AC4，则_.答案：167已知向量a，b满足|a|1，|b|3，且|2ab|，则a与b的夹角为_答案：8(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，ab1，若e为平面单位向量，则|ae|be|的最大值是_答案：三、解答题9已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)；(4)|ab|.解：(1)ab|a|b|cos 120233；(2)a2b2|a|2|b|2495；(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734；(4)|ab|.10已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为，是否存在这样的，使|ab|ab|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：假设存在满足条件的，|ab|ab|，(ab)23(ab)2.|a|22ab|b|23(|a|22ab|b|2)|a|24ab|b|20.|a|24|a