立体几何新题型.docx

立体几何新题型1如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面.DCPMBA（1）求证： 平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.2在四棱锥中， 为正三角形，平面平面， ， ， .CBADP（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积；（）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由3如图， 是边长为3的正方形， 平面， 平面， .FABCED（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.P4如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， AB QDCM（）求证：平面平面；（）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值5已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ， ， 为上一点， 为的中点.BCADMP（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.6如图，四棱锥的底面为菱形 且ABC120，PA底面ABCD，AB2，PA， DBACEP（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）求三棱锥P-BDC的体积。（3）在线段PC上是否存在一点E，使PC平面EBD成立如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由。7在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ，M在线段上，且 EBCMFAPD（）证明： 平面；（）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积8如图，五面体中，四边形是菱形， 是边长为2的正三角形， ， CBAED（1）证明： ；（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离9如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形， ， ， ， 为的中点，点在线段上 ADECFPB（）求证： ； （）当三棱锥的体积等于四棱锥体积的时，求的值.10如图，在四棱锥中， ， ， ， ， ， .BCDOAP(1)求证：平面平面；(2)若，三棱锥与的体积分别为，求的值11如图,在四棱锥中，底面是正方形， 底面， ， 分别是的中点.（1）在图中画出过点的平面，使得平面（须说明画法，并给予证明）；（2）若过点的平面平面且截四棱锥所得截面的面积为，求四棱锥的体积.CDBEEPA12如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面， .C1A1CDBAB1（1）求三棱柱的体积；（2）已知点是平面内一点，且四边形为平行四边形，在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.参考答案1（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点的位置，再利用等体积法进行求解.试题解析：（1）连接，在直角梯形中， ，所以，即.又平面，又，故平面.（2）为的中点，因为为的中点， 为的中点，所以，且.又，所以四点共面，所以点为过三点的平面与线段的交点.因为平面， 为的中点，所以到平面的距离.又，所以.由题意可知，在直角三角形中， ， ，在直角三角形中， ， ，所以.设三棱锥的高为， ，解得： ，故三棱锥的高为.2(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.【解析】试题分析：()先证明，再根据面面垂直的性质定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（）先根据面面垂直的性质定理可得平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（） 为的中点时， 平面，根先证明平面平面，从而可得结果.试题解析：（）因为， ，所以.因为平面平面，平面平面 ，所以平面.因为平面,所以平面平面. （）取的中点,连结.因为为正三角形， 所以.因为平面平面，平面平面 ，所以平面，所以为三棱锥的高. 因为为正三角形， ，所以.所以 .（）在棱上存在点，当为的中点时， 平面.分别取的中点，连结.所以. 因为， ，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为,所以平面平面.因为平面，所以平面. 3（1）见解析（2）存在点且满足条件.【解析】试题分析：（1）根据，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点，过作交于，连接，设，求得几何体的体积，将其分割成两个三棱锥，利用表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得的值.试题解析：解：（1）平面， 平面，平面，是正方形， ，平面， 平面， 平面，平面平面.（2）假设存在一点，过作交于，连接，设，则，设到的距离为，则， ， ，解得，即存在点且满足条件.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出的位置的值.4（）见解析；（） .【解析】试题分析：（）由平面平面，且平面平面， 可证得平面，进而平面平面；（）（）由， 为的中点，可得由平面平面，可得平面设，梯形面积为，则SABQ= ， ，利用即可求得.试题解析：（）证明：， ， 为的中点，四边形为平行四边形，即又平面平面，且平面平面，平面，平面，平面平面（）， 为的中点，平面平面，且平面平面，平面设，梯形面积为，则三角形的面积为，又设到平面的距离为，则，根据题意，故，为中点，所以5（1）为中点，（2）【解析】试题分析：（1）由BC平行AD，可由线面平行判定定理得BC平行平面ADM ，再由线面平行性质定理得BC平行MN，而M为PC中点,因此为中点，（2）上部分为四棱锥，下部分体积为大四棱锥减去上四棱锥：上部分四棱锥的高为AD，大四棱锥的高为PA，再根据棱锥体积公式得四棱锥的体积，而四棱锥的体积，进而可得比值试题解析：解：（1）为中点，截面如图所示.（2）因为是的中位线， ，所以，且，所以梯形的面积为，点到截面的距离为到直线的距离，所以四棱锥的体积，而四棱锥的体积，所以四棱锥被截下部分体积，故上，下两部分体积比.考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解6（1）见解析；（2）1；（3） 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，也即要证线线垂直，由菱形可得，又由平面得，从而可得直线与平面垂直，从而得证面面垂直；（2）三棱锥的底面是，高为，由体积公式可得体积；（3）假设存在，由线面垂直可得线线垂直，设，则，在中由相似三角形可求得长，反之只要有，就可得平面试题解析：(1) 略证:通过证BDAC,BDPA,得出BD平面PAC,又BD在平面PBD内,所以平面PBD平面PAD(2) (3)假设存在，设，则 ， CPA , .7（）见解析；（） 【解析】试题分析：（）根据余弦定理结合勾股定理可得，由平面，得。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（）取是的中点，先证明平面，即可证明平面，然后根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）证明：在中， ， ， ，由余弦定理得所以，从而有. 由平面，得. 所以平面. （）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形，则.在中， ， 分别是， 的中点，则，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以平面平面. . V = . 【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.8（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连，得到，进而得出，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即得到；（2）取的中点，连结，由（1）证得平面，所以点是在平面内的正投影，设点到平面的距离为，在中，求解面积，在中，得，利用，即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连因为是边长为的正三角形，所以又四边形是菱形， ，所以是正三角形所以而，所以平面所以（2）取的中点，连结由（1）知，所以平面，所以平面平面而平面平面，平面与平面的交线为，所以平面，即点是在平面内的正投影设点到平面的距离为，则点到平面距离为因为在中， ，得在中， ，得所以由得即解得 ，所以到平面的距离9（）见解析;（）【解析】试题分析：（）根据余弦定理及勾股定理先证明，可得，再由勾股定理得，进而可得结论；（） 到平面的距离为，由可得结果.试题解析：（）证明：在平行四边形中，连接，因为， ， ，由余弦定理得，得， 所以，即，又，所以， 又， ，所以， ，所以平面，所以 （）因为为的中点， 设到平面的距离为 所以10（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）先根据正方形性质得，再根据勾股定理得，根据线面垂直判定定理得平面,最后根据面面垂直判定定理得面面垂直，（2）由锥体体积公式得体积之比为，再根据面积之比可得的值试题解析：(1)在四边形中，/ ， ， ，四边形是正方形，得.在中，又, 平面,又平面，平面平面.(2)由(1)知，四边形为正方形， ，从而,设点到平面的距离为，平行线与之间的距离为，.11（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）分别取的中点，连接，可证面， 面，进而根据面面平行得性质可得结果；（2）设，则， 先证梯形为直角梯形，再根据面积求得，进而可得结果.试题解析：（1）如图所示，分别取的中点，连接，因为， ，所以，即四点共面，则平面为所求平面，因为， 面， 面，所以面.同理可得： 面，且，所以面.（2）设，则， ，由（1