74孤立奇点类型探析-常凯.doc

孤立奇点类型探析指导教师：麻桂英常凯（包头师范学院 数学科学学院）【内容摘要】：孤立奇点分为有限和无穷两大类。孤立奇点分为可去奇点、极点和本性奇点，它们有各自的性质。【关键词】：奇点 孤立奇点 可去奇点 极点 本性奇点一、引言奇点：若函数在点z0不解析，但在z0的任一领域内总有的解析点，则称z0为函数的奇点。孤立奇点：如果函数在点a的某一去心领域K-a:0R（即除去圆心a的某圆）内解析，点a是的奇点，则称a为的一个孤立奇点。奇点有孤立奇点和非孤立奇点。孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点。二、有限孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点中最简单、最重要的一种类型。以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质。如a为函数的孤立奇点，则在a点的某去心领域K-a内可以展成洛朗级数：=我们称非负幂部分 为在点a 的正则部分，而称负幂部分 为 在点a的主要部分。这是因为实际上非负幂部分表示在点a 的领域k： 内的解析函数，故函数在点a的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上。如果在点a 的主要部分为零，则称a 为的可去奇点。如果在点a 的主要部分为有限多项，设为则称a为的m 阶极点。一阶极点也称为单极点。如果在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为的本质奇点（下面内容只列出定理和例子，证明可见书）。以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征。1 可去奇点，如果a为函数可去奇点，则有：=上式等号右边表圆 K:内的解析函数。如果命则在圆k 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将在点a 的值加以适当定义，则点a 就是的解析点。这就是我们称a 为的可去奇点的由来。例如，当我们约定 时,在z=0就解析了。定理：如果a为函数的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，他们中的任何一条都是可去奇点的特征。（1）在点a的主要部分为零；（2）（3）在点a 的某去心领域内有界。2 极点定理：如果函数以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。（1） 在点a的主要部分为（2） 在点a 的某一去心领域内能表成=其中(z)在点a领域内解析，且；（3）以点a 为m 阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令=0）注：第三条表明：以点a为m 阶极点例：函数=以 z=1为一阶极点，z=-1/2为二阶极点。以点a 为m阶零点。下述定理也能说明极点的特征，其缺点是不能指明极点的阶 。定理：函数的孤立奇点a 为极点的充要条件是 3 本质奇点定理：函数的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是b(有限数）且，即不存在。定理：若z=a为函数之一本质奇点且在点a 的充分小去心领域内不为零，则z=a亦必为的本质奇点。例：z=0为的本质奇点，因为=1+三、无穷远孤立奇点定义：设函数在无穷远点（去心）领域N-内解析，则称点为的一个孤立奇点。设点为的一个孤立奇点，利用变换,于是 在去心领域 K-0:0 （如r=0规定 ）内解析=0就为之一孤立奇点。我们还看出：（1）对应于扩充z平面上无穷远点的去心领域N- ,有扩充平面上原点的去心领域；（2）在对应点z与上，函数与的值相等；（3） ,或两个极限都不存在。从这里，我们很自然地根据在原点的状态来规定函数在无穷远点的状态，即有：定义：若 =0为的可去奇点（解析点），m阶极点或本质极点，则我们相应的称z=为的可去奇点（解析点），m阶极点或本质极点。定理：函数 的孤立奇点 z= 为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立：（1） 在z=的主要部分为零（2）（3）在z=的某去心领域 N-内有界。定理：函数的孤立奇点z=为m阶极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立：（1） 在z=的主要部分为:（2） 在z=的某去心领域N-内能表成其中在z=的领域N内解析,且；（3）以z=为m阶零点（只要令 =0）例，由在2内的洛朗展式，知它以z= 为可去奇点，并且作为解析点来看是二阶零点（只要让=0）。又 =,以z=为二阶极点，这里 定理：函数的孤立奇点为极点的充要条件是 定理：函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列两条中的任何一条成立。（1）在z=的主要部分有无穷多项正幂能够不等于零；（2）不存在即当z 趋向于时，不趋向于任何（有限或无限）极限四、典型例题例1，判定孤立奇点的类型。解：（1）z=0 是一个孤立奇点而=0，故这是可去的奇点（2）z,shz=0时，z=k,(k=), 因此,和均是此函数的一级极点。例2，判定的奇点类型。解：（1）z=0是一孤立奇点，而=，故z=0是可去奇点。（2）z=1是本性奇点，其中)在z=1解析，而sh，在z=1的洛朗级数含的无限项。例3，求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别。(1) (2) (3)(4) (5)解：（1）因，而是有理分式，故显然可知z=1是3级极点，z=-1是2级极点（因此时分子不为零），当z=时，令z=，则=显然=0是的2级极点，即z=是的2级极点。（2也是有理分式，显然z=0是简单极点，当z=时，此时分子分母均为零，但于是可见z=也是的简单极点。当z=时 = 可见z= 是的简单极点。（3）显然z=是的简单极点当z=时，令 因此极限不存在（包括不为），所以，z=是的本性奇点，故z=是的本性奇点。注：这里用到结论：若不存在，则z=是的本性奇点，这是显然的，否则若z=是可去奇点（正则点）或极点，则存在且有限，或=，矛盾。（4）显然=1+（k=0，）是分母的零点，而分子仅有奇点 而在处其值为1所以=1+（k=0，）是的简单极点。当z=1时，令z=x，y=x-1，则所以不存在，故z=1是的本性奇点。又（），故z= 是极点的极限点。（5）由下列注知：函数仅有唯一的奇点，且它是本性奇点，于是令，则仅为函数又由=0知，当= （k=0，）时，所以是的本性奇点。显然z=0是的本性奇点的极限点。当z=时，若定义则z=是的正则点。注：此例的解题方法，是求的孤立奇点及判断其类别的常用方法。小结：综上对孤立奇点的研究，我们发现孤立奇点在复变函数中占有相当重要的地位，所以我们有必要弄清它的分类和性质，这也是我写本文的原因所在。参考文献 1 余家荣 复变函数