矢量代数要点.doc

矢量代數要點韋輝樑矢量代數的起源很大程度上是由為解決力學問題而引起。以下介紹以二維矢量為例，但可以推廣到三維或以上維數的矢量。一. 定義1. 一個包括方向和大小兩要素的量，稱為矢量(Vector)。例如物理學上的“力”是一個矢量。2. 矢量的表示方法有： 用圖形表示：用一個有向線段(帶箭頭的線段)表示：線段的方向表示矢量的方向，線段的長度表示矢量的大小。 用符號表示：n 用線段兩端點的大寫字母，並在字母頂上加一小箭頭表示。例如: 或，而字母的順序則表示方向，例如是表示從A到B的方向；而是表示從B到A的方向，|表示線段的長度，亦即矢量的大小。這種表示方法的優點是矢量的始點、終點十分明確，便於用座標對矢量進行計算。為方便打印，有時也會用斜體粗字表示矢量，例如將寫成 AB。n 用一個小寫字母表示，而|表示線段的長度，亦即矢量的大小。這種表示方法的優點是簡單明瞭。為方便打印，有時也會用斜體粗字表示矢量，例如將寫成 a。n 長度 = 1的矢量，稱為單位矢量，用小寫字母加腳標0表示。例如上圖的a0。矢量又可以寫成= aa0，其中實數a表示大小，而a0表示方向。實數a允許負值，這時的方向與a0的方向相反。= aa0這種表示方法的優點是可以將方向和大小分別處理。 用圖形表示是便於通過形象理解，用符號表示是便於代數處理。而符號表示的三種方法也隨“方便”而選擇。二. 矢量的相等、相反和零矢量1. 同方向同大小的兩個矢量稱為相等。 同方向 兩線段是平行的，而且是同向的(夾角=0)。 同大小 兩線段的長度相等。如圖所示，。2. 反方向同大小的兩個矢量互相稱為負矢量 反方向 兩線段平行，而方向相反 (夾角=180o)。 同大小 兩線段的長度相等。如圖所示，。互為負矢量的兩個矢量又稱為相反。(請注意字母的順序)3. 零矢量長度為零的矢量稱為零矢量。零矢量沒有方向，或方向不確定。零矢量用0表示。三. 矢量的加法1. 將兩個矢量首尾相接，由第一個矢量的始端到第二個矢量的終端確定了一個新的矢量，這個新矢量稱為這兩個矢量的“和”。記為。求矢量和的方法，叫做矢量的加法。如圖: 。2. 由得到啟示：等號右邊中間的兩個字母同為B，即B點既是前一個矢量的尾又是後一個矢量的首，兩個矢量的和，結果是取第一個矢量的前一個字母A和最後一個矢量的後一個字母。例如:。這種純符號邏輯為提高效率帶來很大方便。四. 矢量的減法1. 矢量的減法被定義為加上負矢量：。2. 顯然： ，3. 由，得知，、和三個矢量構成一個封閉的三角形，A、B、C是它的三個項點。4. 在矢量的加減等式中，可以將一個矢量從等號一邊，反號後移往另一邊。例: 由五. 矢量乘法矢量乘法有三種，而矢量沒有除法。1. 數乘矢量 - 數k乘矢量 =k = n 的大小：等於大小的 |k| 倍。n 的方向: 當k0時，與同向，當k0時與反向。 =k /如圖: 求的單位矢量: 由= aao 得： ao=/a。2. 兩矢量的數積 (又稱點乘) 定義：。 兩個矢量點乘的結果是一個數量，不再是一個矢量。 如果是單位矢量，即b = 1，如圖AD=a cos=b0。矢量在方向上的投影 = 點乘的單位矢量。 這樣的定義在數學上似乎有點莫名其妙，但是在物理學上則可以找到最好的解釋，例如力做功的問題。3. 兩矢量的矢積 (又稱叉乘) 定義：。 其中是矢量和的夾角。是與、同時垂直的右手系方向的單位矢量。 在幾何上，absin其大小正是由、所夾平行四邊形的面積。是表示該平行四邊形 “面”的方向。(這裡視平面有“底”和“面”之分) = 0 / 這樣的定義在數學上也似乎有點莫名其妙，但是在物理學上則同樣可以找到最好的解釋，例如電磁問題，力矩(轉動)問題。六. 直角座標系下的矢量計算1. 設：O(0, 0)，A(xA, yA)，B(xB, yB)， 則 點A對應著由原點指向A的一個矢量： = (xA, yA)， = (xB, yB)，. = + = - = (xB-xA, yB-yA)在直角座標下，矢量可由一對座標(x, y)表示，其中x = 終點的x座標 始點的x座標；y = 終點的y座標 始點的y座標； = (xB-xA, yB-yA)2. 設 V1=(x1, y1)，V2=(x2, y2)，V3=(x3, y3)，V4=(x4, y4)， 則 V1+V2 = (x1+x2, y1+y2) V1 - V2 = (x1- x2, y1 - y2) - 兩矢量加減 = 對應座標相加減。 kV1 = k(x1, y1) = (kx1, ky1) V1V2 = x1x2 + y1y2 - 兩矢量點乘 = 對應座標相乘相加。 V1V2 x1x2 + y1y2 = 0- 兩矢量垂直 兩矢量點乘 = 0。 V1/V2 - 兩矢量平行 兩矢量座標成比例。3. 若已知 V1=(x1, y1)，求V2(x2, y2), 使得： V1/V2 解: 其中 k0，任意實數。即 V2 = k(x1, y1)。 V1V2解: 其中 k0，任意實數。即 V2 = k(-y1, x1) V2是V1的單位矢量解：其中。即 V2/V1，而長度為L的矢量解: V2V1，而長度為L的矢量解: 或七. 矢量應用舉例例1. 用矢量方法證明三角形中位線定理。(簡證): 在DABC中，用矢量表示各線段如圖。因為D、E是中點，所以 AD=DB，CE=EA；由AD+DE+EA=0 = DE = -AD - EADB+BC+CE+ED=0 = DE = DB+BC+CE兩式相加得: 2DE= DB AD + CE EA + BC = BC= DE/BC，且例2. 已知： 在ABC中1. A(2,1)，B(3,5)，C(-3,-1)；2. AD是BC上的高，求： D點的座標及AD的長度解: 設 D(x,y)則1. 由ADBC ，即 (x-2, y-1)(-3-3, -1-5) = (x-2, y-1)(-6, -6) = 0 = -6(x-2) - 6(y-1) = 0= x + y 3 = 02. 由D(x,y)在BC上，得BD = kBC = (x-3, y-5) = k(-6, -6)= = 由此得: D(0.5, 2.5) 例3. 已知：原點O(0,0)，圓O半徑為 R，求：圓O的切線族方程。解：1. 取圓周上任意(可變)一點A=R(cos , sin)，過A作切線AB。其中B = (x, y)是切線上任一點。2. 作矢量OA和OB。3. 由於OAAB (A是切點)，所以OA =“OB在OA方向上的投影”，= R =OB(cos, sin) = (x, y)(cos, sin)。4. 所求方程是: x cos + y sin = R (02)註 可以在DM_Lab上作圖: y = (R - x cos)/ sin 來檢驗。例4. 已知 :1. 原點O(0,0)，圓O半徑為 R，2. 點A在x軸上: A(d,0)圖 一.3. 點B在圓周上，4. CD為AB中垂線，CD長為 L一. 求: D點的軌跡方程1. 寫出A、B、C各點座標:A= (d, 0)B = (Rcos, Rsin)2. 寫出向量由CDCB，|CD|=L得:3. 寫出D點座標:由得:圖 二.4. D點軌跡的參數方程: (1) 二. 檢驗1. 圖一. (紅線)是用DM_Lab作出的軌跡圖形。2. 圖二. (藍線)是用DM_Lab作出的函數圖形。3. 由兩條圖線重合，檢驗得方程是正確的。三. 變換觀點1. 當B沿圓周運動時，產生D的軌跡，這一過程以“變換觀點”來看，就是上面所得D點軌跡的參數方程其實是一種變換，它將圓變換成曲線(1)： 。2. 注意到 B = (Bx , By) = (Rcos , Rsin)，可將 ( f ) 改寫如下： (f )這是一個B到D的變換: 。如果B沿圓周運動，則就是變換：。如果B沿其它路線運動，則結果可能不再是“眼眉”，而是其他形態的圖形。4. 如果將B點安裝在 y = sin(x) 曲線上，A點放在(1,0)處，CD長度取2，這時 d=1，L=2。(1) 拖動B點沿正弦曲線移動，D點畫出的軌跡如下圖紅線所示。(2) 這時B點的座標是 ( t, sin t )，即 Bx = t，By = sin t。(3) 代入變換(1)， 得D點軌跡的參數方程是： (2)在DM_Lab中輸入：d=1L=2tf=x=(d+t)/2+L*sin(t)/sqrt(d-t