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第四节函数单调性与凹凸性 导数符号与单调性单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤小结 作业 1 21 一 导数符号与单调性 定理1 2 21 证 在 x1 x2 上应用拉氏中值定理 得 思考 1 若将 f 0 改为 f 0 会有什么结果 2 若将 在I的内部恒有f 0 改为 在I的内部除去有限个点处f x 0之外 其余点处恒有f x 0 会有什么结果 3 21 二 单调性的判定步骤 在f的定义域上求f 的零点及f 不存在的点 用f 的零点及f 不存在的点将f的定义区间划分为子区间 根据f 在各子区间内的符号及f在各子区间端点处的连续性确定f的单调性 二 三两步可借助于表格方式完成 4 21 例1 解 5 21 例2 解 6 21 例3 解 7 21 例4 证 注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式 8 21 三 凹凸与拐点的定义 定义 若曲线段向上 下 弯曲 则称之为凹 凸 的 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 图形上任意弧段 位于所张弦的下方 问题 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性 的中点 的中点 9 21 定义 拐点是函数的局部性质 10 21 四 二阶导数符号与凹凸性 1 凹凸的判定 定理2 11 21 2 拐点的判定 拐点只能是f 的零点或f 不存在的点 12 21 证 13 21 定理4 拐点的第一充分条件 易证 定理5 拐点的第二充分条件 14 21 定理5 拐点的第二充分条件 证 15 21 五 凹凸与拐点的判定步骤 16 21 例5 解 拐点 非拐点 17 21 注 利用凹凸性也可以证明一些不等式 例6 解 18 21 六 小结 函数的单调性的可以由导数的符号确定 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 曲线的弯曲方向 凹凸性 改变弯曲方向的点 拐点 凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定 利用函数的凹凸性可以证明不等式 19 21 作业 习题3 43 3 4 2
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