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新课标八年级数学竞赛讲座第十八讲 由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1中线倍长；2作直角三角形斜边中线；3构造中位线；4构造中心对称全等三角形等熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解 【例1】 如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有： (1)利用直角三角斜边中线定理； (2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法 【例2】 如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边ADBC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN则AB与MN的关系是( ) AAB=MN BABMN CABBC，C、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于H、G，则AHE BGE(填“”或“=”或“”号)15如图，在ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+，则SABC等于( )A B C D16如图，正方形ABCD中，AB8，Q是CD的中点，设DAQ=，在CD上取一点P，使BAP2，则CP的长是( ) A1 D2 C3 D 17如图，已知A为DE的中点，设DBC、ABC、EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的关系式是( ) A B C D18如图，已知在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P求证：PAE=PBF(2003年全国初中数学联赛试题)19如图，梯形ABCD中，ADBC，ACBD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论 (山东省竞赛题)20已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90如图甲，连结DE，设M为D正的中点 (1)求证：MB=MC； (2)设BAD=CAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论(江苏省竞赛题)21如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分别为Al、B1、Cl、D1 (1)求证AA1+ CCl = BB1 +DDl； (2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl之间存在什么关系? (3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点
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