线性代数(A)试题(A卷).doc

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称 线性代数专业班级2005级本科题号一二三四五六七八九十总分题分121240121212100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一单项选择题（每小题3分，共12分）1. 设均为阶矩阵，且，则必有_；(A) (B) (C) (D) 2. 设向量组线性无关,向量组线性相关,则以下命题中成立的是_；(A) 一定能由线性表示 (B) 一定能由线性表示 (C) 一定能由线性表示 (D) 一定能由线性表示3. 设是三元线性方程组的两个不同的解，且，则的通解为_； (A) + (B) (C) (D) 4. 已知是矩阵的特征向量，则_；(A) 1或2 (B) -1或-2 (C) -1或2 (D) 1或-2二填空题（每小题3分，共12分）1. _；2. 如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二行，得矩阵B ,且，则=_；3. 设向量若线性相关，则=_；4. 已知3阶方阵A的特征值为1、-1、2，则矩阵的特征值为_；三解答题（每小题8分，共40分）1. 计算行列式；2. 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中；3. 设A为三阶矩阵且，求；4. 求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；5. 已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为，且对应于特征值为0的特征向量为，求矩阵A.四(12分) 设线性方程组为，问：、分别取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 并在有无穷多解时求出其通解.五（12分）设二次型=由正交变换可化为标准形.求的值及正交矩阵P，并判断该二次型的正定性.六证明题（每小题6分，共12分）1. 设向量组线性无关,且，.试证明向量组线性无关.2. 若方阵A、B满足.证明A可逆，并求(用A的多项式表示). 武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷）一、选择题（每小题3分，共12分）1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2； 2.； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分） 三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：2分2分 4分 注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。2. 由题，有 2分且故可逆。 2分2分在等式左右两边左乘得 2分2分3.解：2分2分 2分,上式 2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。4.解：令矩阵，并通过初等行变化化成最简形，有： 4分故向量组A的的一个最大无关组为， 2分 且。 2分5.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为2时所对应的特征向量为则有： 2分其基础解系为若矩阵A相似与对角矩阵，则相似变换矩阵为， 2分求得， 2分2分由注：本题也可使用参数法求解，即：设, 2分由题意有 2分得，故矩阵,由特征值为2得， 2分由特征多项式为，比较系数得故A= 2分四(共12分)解：线性方程组的系数矩阵为：增广矩阵为： 4分故（1）当 1分 (2)当 1分 （3）当 2分当时，原增广矩阵为 2分其等价方程组为：，故其通解为： 2分注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：系数行列式为：，故当若a=-2时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。五（共12分）解：的矩阵，有特征值 故 2分当时，解方程组得方程组的基础解系为：，, 2分正交单位化，有：，； 3分当时，解方程组得方程组的基础解系为： ,单位化，得： 2分令,故即为所求的正交变换。 2分因为矩阵A特征值不全为正，故为非正定型（或不定）。 1分六