2 信号的分类与描述

传感器与测试技术 第2章信号的分类与描述 学习导航 2 1信号的分类 SignalClassification 2 2周期信号的频谱 PeriodicSignalSpectrum 2 3非周期信号的频谱 AperiodicSignalSpectrum 2 4典型信号的频谱 TypicalSignal sSpectrum 2 5随机信号的概念和分类 RandomSignalConceptandClassification 2 1信号的分类及描述方法2 1 1信号的分类 确定性信号非确定性信号 随机信号 周期非周期 平稳非平稳 简谐复杂周期准周期瞬变 各态历经非各态历经 1 从随时间变化规律的角度分类 2 1信号的分类及描述方法 1 确定性信号 周期信号 周期信号 可以用明确的时间函数表示的信号 x t x t T 例如x t sin t 周期T 2 1 f 2 1信号的分类及描述方法 式中 振幅固有圆频率初相角 简谐信号 简谐振动 简谐信号为单一频率的正弦或余弦信号 例如单自由度无阻尼质量 弹簧振动系统的位移信号 2 1信号的分类及描述方法 复杂周期信号 是由两种以上的频率比为有理数的简谐信号合成的 叠加后存在公共周期 例如周期方波 周期三角波等 例如一种周期方波 2 1信号的分类及描述方法 非周期信号 准周期信号由多个频率成分叠加 频率之比不是有理数 例如 瞬变信号在有限时间段有非零值 或随着时间的增加衰减至零 瞬变信号 2 1信号的分类及描述方法 2 非确定性信号 随机信号 螺纹车床主轴受环境影响的振动波形 不能用准确的数学关系式描述 可以用概率统计方法估计参数 所描述的物理现象是一种随机过程 例如分子热运动 环境的噪声 随机相位正弦波等 2 1信号的分类及描述方法 2连续信号和离散信号 连续信号离散信号 模拟信号 幅值和自变量均连续 一般连续连续信号 自变量连续 一般离散信号 自变量离散 数字信号 幅值和自变量均离散 从信号取值特征的角度分类 2 1信号的分类及描述方法 信号幅值的连续和离散 信号自变量的连续和离散 2 1信号的分类及描述方法 3能量信号和功率信号 根据信号是用能量表示或功率表示 可分为能量信号 energysignal 和功率信号 powersignal 当x t 满足则信号的能量有限 称为能量有限信号 简称能量信号 如各类瞬变信号 若x t 在区间的能量无限 不满足条件 但在有限区间内满足平均功率有限的条件 则称为功率信号 如各种周期信号 常值信号 阶跃信号等 2 1信号的分类及描述方法 2 1 2信号的描述方法 幅频谱图 相频谱图 时域描述时域图傅里叶级数 傅里叶变换频域描述频谱图 时域描述表示信号幅值随时间变化的规律 频域描述以频率为自变量 描述信号所含频率成分的幅值和相角 2 1信号的分类及描述方法 2 2周期信号的频谱2 2 1三角函数展开式 其中 常值分量 余弦分量的幅值 正弦分量的幅值 式中T0 周期 2 2周期信号的频谱 傅里叶级数的谐波形式 各谐波分量的幅值和初相角分别为 其中常值分量 2 2周期信号的频谱 与谐波形式相应的频谱 频谱图的纵坐标分别为An和 n 横坐标为 其中幅值谱图 An 图 相位谱图 n 图 式中 0 基频 n 0 n次谐频 Ansin n 0t n n次谐波 各谐波成分的频率都是 0的整数倍 因此谱线是离散的 2 2周期信号的频谱 例1 1求周期方波 如下图 的频谱 并做出频谱图 解 1 写出信号函数数学表达式周期方波x t 在一个周期内可表示为 2 2周期信号的频谱 用傅里叶级数展开 因x t 是奇函数 所以有 2 2周期信号的频谱 3 求傅里叶系数 常值分量 各谐波分量的幅值 各谐波分量的初相角 结果 2 2周期信号的频谱 图周期方波的频谱图 2 2周期信号的频谱 周期方波前4个谐波成分的叠加 2 2周期信号的频谱 周期方波的时 频域描述及其关系 2 2周期信号的频谱 2 2 2傅里叶级数的复指数展开式 欧拉公式 2 2周期信号的频谱 对于三角函数式 代入欧拉公式 有令 于是 有 2 2周期信号的频谱 与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱 式中幅值谱相位谱 2 2周期信号的频谱 例2 2对如图所示周期方波 以复指数展开形式求频谱 并做频谱图 图周期方波 解 2 2周期信号的频谱 幅值谱 相位谱 2 2周期信号的频谱 复指数函数形式的频谱为双边谱 三角函数形式的频谱为单边谱 0 两种频谱的各谐波幅值之间 有 cn An 2 c0 a0双边幅值谱为偶函数 双边相位谱为奇函数 即 三角函数展开式与复指数展开式的关系 2 2周期信号的频谱 周期信号频谱的特点 周期信号的频谱是离散的 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上 谐波幅值随谐波次数的增高而减小 因此 可以忽略高次谐波分量 2 2周期信号的频谱 2 3非周期信号的频谱2 3 1概述 准周期信号 两个或两个以上的正 余弦信号叠加 如果任意两个分量的频率比不是有理数 或者说各分量的周期没有公倍数瞬变信号 除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号 图瞬变信号的波形a 电容放电时电压的变化b 初始位移为A质量块的阻尼自由振动c 受拉的弦突然拉断 2 3非周期信号的频谱 2 3 2瞬变信号的频谱 傅里叶变换 周期信号可以写成 瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号 即 2 3非周期信号的频谱 定义傅里叶变换 傅里叶逆变换则为 分别记为X F x t x t F 1 X x t 和相应的频域函数X 为傅里叶变换对 记为 x t X 对傅里叶积分式 2 3非周期信号的频谱 代入 有 一般X f 是实变量的复函数 可以写成 2 3非周期信号的频谱 周期信号幅值谱 cn 的量纲即为信号幅值的量纲 瞬变信号幅值谱 X f 为信号在单位频宽上的幅值 所以 X f 是频谱密度函数 工程测试中仍称为频谱 cn 是离散的 X f 是连续的 周期信号与瞬变信号幅值谱的区别 2 3非周期信号的频谱 例矩形窗函数的频谱 其中森克函数 sincx sinx x 随着x的增加 森克函数以2 为周期作衰减振荡 它是偶函数 并且在n n 1 2 处为0 解 2 3非周期信号的频谱 矩形窗函数及其频谱 瞬变信号频谱的特点 瞬变信号的频谱是连续的 幅值随着频率的增加而衰减 2 3非周期信号的频谱 2 3 3傅里叶变换的主要性质1奇偶虚实性 显然 可以根据函数的奇偶性判断实频谱和虚频谱的奇偶性 2 3非周期信号的频谱 2 线性叠加性质 由傅里叶变换的定义容易证明 若 有式中 为常数 3 对称性质 则有 若 证明 以 t替换t 有 将t与f互换 得 的傅里叶变换 2 3非周期信号的频谱 对称性质表明傅里叶变换与傅里叶逆变换之间存在对称关系 即信号的波形与信号频谱函数的波形有互相置换的关系 利用这个性质 可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对 图对称性示例 2 3非周期信号的频谱 4时间尺度改变性质 即时域时间压缩k倍 则频域的扩展和幅值的降低均为k倍 证明 当信号x t 的时间尺度变为kt时 有 在信号x t 幅值不变的条件下 有 2 3非周期信号的频谱 时间尺度改变性质举例 时间扩展k 1 2k 1时间压缩k 2 时间尺度改变性质应用 应用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的谱分析时 此特性很有实用价值 若磁带慢录快放 时间尺度压缩 时域波形变窄 分析结果频带 幅值 信号处理效率高 频率分辨率高 若磁带快录慢放 加宽 降低 5时移和频移性质 当时域信号延迟t0时 其频谱函数乘因子 因此会改变相频谱 而幅频谱不变 时移性质若F x t X f 并且t0为常数 则有 证明 2 3非周期信号的频谱 把时域信号延时t0时 则其频域相移 频移性质 若频谱沿频率轴右移一个常值f0 对应的时域函数将乘因子 与时移性质同理 有 证明 2 3非周期信号的频谱 6 微分和积分特性 微分特性 若积分特性 若 微分与积分特性在信号处理中很有用 在振动测试中 如果测得位移 速度或加速度中任一参数 便可用傅里叶变换的微分或积分特性求其它参数的频谱 2 3非周期信号的频谱 7卷积性质 两个函数x1 t 和x2 t 的卷积定义为 卷积定理 时域的卷积对应于频域的乘积 时域的乘积对应于频域的卷积 2 3非周期信号的频谱 2 4几种典型信号的频谱2 4 1单位脉冲函数 函数 1 单位脉冲函数 函数 的定义 即 单位脉冲函数 矩形脉冲函数 若延迟到t0时刻 有 2 4几种典型信号的频谱 2 函数的采样性质 于是 在脉冲发生点采集到函数x t 的值 3 函数与其它函数的卷积 2 4几种典型信号的频谱 函数卷积性质的应用 函数x t 与 函数卷积的结果 就是把x t 的图形从坐标原点平移到脉冲函数发生的坐标位置 函数x t 与 函数的卷积 2 4几种典型信号的频谱 4 函数的频谱 函数具有等强度 无限宽广的频谱 这种频谱常称为 均匀谱 或 白色谱 是理想的白噪声信号 函数的频谱 2 4几种典型信号的频谱 根据傅里叶变换的时移 频移性质 还可以得到以下傅里叶变换对 2 4几种典型信号的频谱 2 4 2单边指数函数信号的频谱 单边指数函数的表达式 其傅里叶变换 图单边指数函数的频谱a 时域表示b 幅值谱图c 相位谱图 2 4几种典型信号的频谱 2 4 3正 余弦函数信号的频谱 因为正 余弦函数不满足绝对可积条件 所以不能直接进行傅氏变换 正弦函数和余弦函数的频谱可用傅里叶级数描述 由欧拉公式 有 于是 有 2 4几种典型信号的频谱 正弦函数和余弦函数的频谱图 2 4几种典型信号的频谱 2 5随机信号的概念及分类2 5 1随机信号的概念 不能用精确的数学关系式描述时间函数 不能预测未来任何时刻的准确值 可用概率统计方法进行描述和研究 随机现象 产生随机信号的物理现象 样本函数 随机信号的单个时间历程 xi t 随机过程 随机现象可能产生的全部样本函数的集合 总体 记作 x t x1 t x2 t xi t 特点 2 5随机信号的概念及分类 随机过程的样本函数 2 5随机信号的概念及分类 2 5 2随机信号的分类 连续随机过程 如果随机过程 都是连续随机变量 离散随机过程 如果随机过程 对于任意的 都是离散随机变量 对于任意的 2 5随机信号的概念及分类 集合平均 对全部样本函数在某时刻之值xi tk 求平均的运算 例如 时刻t1的平均值为 随机过程在t1和t1 两不同时刻的相关性可用相关函数表示为 2 5随机信号的概念及分类 非平稳随机过程 统计特征参数随时间变化的随机