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数学问题解答 2002年 12月号问题解答 BD DC = AD DF (解答由问题提供人给出 ) 1406已知 : ADCE为半圆 (如图) ,B为直径 AE上一点 ,F在 AC上 ,AD = FC,D E = CG ,BE = HG,AL FG.求证 : KB AC (山东省诸城市第一中学初宗升 )证明因为 ADCE为半圆 ,所以 ADE = FCG = 90.在 Rt ADE和 Rt FCG中 ,因为 AD = FC,DE = CG,AK 所以 KL = ,所以 KB 又因为 LC AC,所以 KB AC. 1407 AB C内接于 O,AF平分 BAC且交 BC于 D、BC于 F,AE AF,交 BC所在直线于 E.若 BC = a,AC =b,AB =c,求线段 BE之长 . (四川省达县县委党校王善鑫 635000)解显然 , AB AC即 c b,否则 ,若 c= b,则有 AE BC,这和 AE与 BC所在直线相交于 E矛盾 .因 AF平分 BAC ,所以 BAF = CA F ,于是 BF = FC即点 F是BC中点 .连结 OF交 BC于 H,则 H点为 BC的中点且 OF BC,所以 BH 图 1= HC = 2 a, FHE = 90,又 FAE = 90,所以 FHE = FA E ,从而 A、H、 F、E四点共圆 ,由相交弦定理 ,有 HD DE = AD DF. 在 O中 ,由相交弦定理 ,有 所以 ADE FCG.所以 AE = FG.又 BE = HG,所以 AB AK = FHCK 把 、代入 ,得 DC 因为 AL FG ,所以 FH = ab ac a(c-b) 2 abc = = 由 、 ,得 HD DE = BD DC 因 AD是 ABC的内角 BAC的平分线 , AB =c,AC =b,BC = a,所以 BD c BD+DC c+b a c+b =, =,=,DC bDC bDC b ab 所以 DC =c+b c ac BD = DC = b c+b (1)当 b c时 ,点 E在 CB的延长线上 ,如图 2 ,这时 aHD = -BD 2 a ac =2 c+b即 HD =a(b-c) 图 2 2 (c + b) 把 、代入 ,得 ab ac a(b-c) 2 abc DE = /= 2 ,c+b c+b2 (c+b) b2 -c 所以 BE =DE -BD = 2 abc 2 -ac b2 -c c+b ac 2 b = -1 = ac b+c b-c b-c综合 (1)、(2)的结果 ,知所求 BE之长为 ac .| b-c| 1408半径为 r的 O1内切于半径为 R的 O于 D, ABC内接于 O,且 AB ,AC分别与 O1 所以 BF= CE.所以 EBC = FCB .因为 E、A、C、B四点共圆 ,所以 CAP = EBC.又 FAB = FCB ,所以 FAB = CA P.因为 F、A、C、B四点共圆 ,所以 ACP = A FB .所以 A FB ACP , AB AF = ,AB AC = AP A F.AP AC 同理可证 AB AC = AQ A E.由圆幂定理 ,得 BP CP = EP AP, (1) BQ CQ = FQ AQ. (2) (1) (2),得= AP AQ = AP AQ ( A E AQ +AP AF + AP AQ) = AP AQ ( A E AF + 2AB AC + AP AQ) = (AP A F) ( AQ AE) + 2 ( AB AC) (AP AQ) + (AP AQ) 2 = (AB AC) 2 + 2 ( AB AC) (AP AQ) + (AP AQ) 2 = (AB AC + AP AQ) 2 .所以 AP AQ = BP BQ CP CQ -AB AC. 1410把 ABC平移 ,再旋转 (顺 ,逆时针旋转均可) 60,恰好与 DEF重合 ,M、N、P分别是 BD、 CE、AF的中点 ,求证 : MN P是正三角形 . (福建厦门九中陈四川 361004)证明先证一个引理 .任意 AB C各边向外 (或向内 )作正 ABC, B CA, ACB,G1 ,G2 ,G3分别为正 ABC, B CA, ACB的中心 ,求证 : G1 G2 G3是正三角形 .证明(1) ABC各边向外作正 AB C, B CA, ACB时 ,连结 AA, BB, CC, AG1 , AG3 , BG1 ,BG2 , CG2 , CG3 (图 1).CAC = 60+ BAC = BAB, AC= AB,AC = AB,所以 ACC ABB,CC = BB.同理可证 :AA= BB= CC.又 G1 AB = 30, G3 AC = 30,所以 G1 AG3 = BAC 图 1AG1 + 60= CAC ,又 AC = 3 , AG3 AG1 AG3 AC = 3 , AC = AC ,所以 AG1 G3 ACC, GG3 = 3 .CC G1 G2 G2 G3同理 : AA = 3 BB = 3 .=G2 G3 = 是正三角AB C, B CA, ACB时 ,补助线同 (1)(图 2),仿 (1)的证明可证得 G1 G2 G3是正三角形 .图 2问题的证明 : (1)当 ABC平移之后 ,逆时针旋转 60时 (图 3),连结 AD,BE, CF,并取其中点 K, T, H,再连结 MT , MK, NT,NH, PH, PK及 KT, KH, TH.由三角形中位线定理知 : MK = 12 AB,MT = 12 DE,又 图 3AB =DE,所以 MK = MT.BA,ED延长线的夹角为 60,所以 KMT + 60= 180, KMT = 120, M KT = MTK = 30.同理 : NTH = NHT = 30, PHK = PKH = 30.所以 M、N、T是KHT图 4各边向外作正三 (下转 5页) (上接 48页)角形的三个中心 ,由引理知 : MN T是正三角形. (2)当AB C平移之后 ,顺时针旋转 60时 (如图 4),补助线同 (1),仿 (1)的证明 ,知MN P是正三角形. 2003年 1月号问题 (来稿请注明出处编者) 1411求大于 1的整数 k,使 f(x) = sin kx sinkx + cos kx cos kx -cos k2 x为常值函数. (湖北襄樊市一中王必廷441000) 10 1412正实数 ai(i = 1 ,2 , ,10)满足条件 ai i= 1 10 = 30 ,求证 : (ai -1)( ai -2)( ai -3) 0. i= 1 (广州市 88中学刘爱农510725) 1413若 x 1 ,x x = x0 ,x0 kk,(k + 1) k+1 Q,其中 k N+,求证 :x0 Qc. (其中 Q:有理数集 ,Qc :无理数集 ,N +:正整数集) (安徽无为中学颜玉勇238300) 22 1414已知 C1 :x2 +y2 = 1 ,C2 :x 2 + by 2 = 1 (a a b 0) ,C2过点 (1 ,1),是否存在与 C1外切 ,与 C2内接的三角形 ?证明自己的结论