重庆科创职业学院教案(11.2正项级数的敛散性判别).doc

重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（下） 教研窒： 高等数学教研室 班级： 编写时间： 2008-8 课题： 正项级数及其敛散性的判别教学目的及要求：会用正项级数的比较审敛法、根值审敛法、比值审敛法。教学重点： 正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。教学难点： 正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。教学步骤及内容 ： 复习：1、 级数收敛的充分必要条件：收敛前项和极限存在；2、 极限存在的准则：单调有界数列必有极限。1.正项级数：定义 若则称为正项级数。它的部分和数列显然是一个单调增加数列：，从而有：2.正项级数收敛的充要条件定理1正项级数收敛它的部分和数列有界推论：如果正项级数发散，则它的部分和数列 3.正项级数的审敛法（1）比较审敛法定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，且（）.若级数收敛，则级数收敛；反之，若发散，则发散.证设收敛于，则级数的部分和旁批栏：.即部分和数列有界，故由定理1知级数收敛.反之，设级数发散，则必发散，否则，就与上面的结论矛盾.推论设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使得nN时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当nN时有成立，则发散例1讨论级数的收敛性，其中常数解设，则，但调和级数发散，由定理2可知，当时级数发散设，当时，有，所以 考虑级数 其部分和故级数（*）收敛，由定理2知，级数当时收敛，综上所述，有如下结论：对级数，当时收敛，当时发散例2 证明级数收敛证明 ，又收敛，故原级数收敛例3 证明级数发散 证明 ，又发散，故原级数发散旁批栏：定理3（比较法的极限形式）设和都是正项级数，如果（1），且级数收敛，则级数收敛（2）且级数发散，则级数发散证明（1） 由极限定义可知，对于，使当时，有，即，再由比较审敛法可得级数收敛（2）按已知条件可知极限存在，如果级数收敛，则由结论(1)必有级数收敛，但已知级数发散，因此级数不可能收敛，即级数发散例4 判别级数的收敛性解 由定理3知此级数发散4.比值审敛法（达朗贝尔（DAlembert）判别法）定理4（比值审敛法）设为正项级数，如果，则当时，级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散证当，取一个适当正数，使，依极限定义，自然数，使时，有，因此，这样，级数各项小于收敛的等比级数的各对应项，由于只比它多了前项，因此也收敛当，取一个适当正数，使，依极限定义，当时，有即，从而，可知发散，旁批栏：类似可证，当，发散当时，由级数可知结论正确例5判别级数的收敛性解故级数收敛例6判别级数的收敛性解故级数发散5.根值审敛法（柯西判别法）定理5（根值审敛法）设为正项级数，如果，则当时，级数收敛，（或）时级数发散，时级数可能收敛也可能发散证明与定理4相仿，这里从略例7判别级数的收敛性解所以级数收敛启发与讨论讨论以下结论是否正确若、均发散，则一定发散若收敛 、发散，则可能收敛也可能发散若、均发散，则一定发散若、均发散，则一定发散旁批栏：小结与思考:1.级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此，如果通项不趋于0，级数一定发散但是，通项趋于0的级数未必收敛，如的通项趋于0，但调和级数发散2正项级数的部分和单调增，所以如果证明了有上界，则正项级数收敛3三个重要的级数：(1)级数： （发散