3-8正弦定理、余弦定理应用.doc

第3模块 第8节知能演练一、选择题1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里 C10海里D10海里解析：如下图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)答案：C2某人在C点测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15米 B5米C10米 D12米解析：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，AOD30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍)答案：C3在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线走30 m，测得塔顶的仰角为2，再向前走10 m，测得塔顶的仰角为4，则塔高是()A10 m B15 mC12 m D10 m解析：如下图，设塔高ABh，在ACD中，cosACD，所以ACD120，所以460，AB10sin601015 m.答案：B4ABC的周长等于20，面积是10，A60，则A的对边长为()A5B6C8D7解析：abc20，bc20a，即b2c22bc400a240a，b2c2a240040a2bc又cosA，b2c2a2bc又SABCbcsinA10，bc40由可知a7.答案：D二、填空题5一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.解析：如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 km.答案：306甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_解析：如图：依题意有甲楼的高度AB20tan6020米，又CMDB20米，CAM60，所以AM米，故乙楼的高度为CD20米答案：20米，米三、解答题7如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度的大小为6030(海里/小时)即乙船每小时航行30海里8l1，l2，l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线(1)如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长；(2)如图，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求该正三角形的边长；如果不能，说明理由解：不妨设Al1，Bl2，Cl3.(1)A，C到直线l2的距离相等，l2过AC的中点M，且ABC为正三角形，l2AC，边长AC2AM2，故ABC的边长为2.(2)设边长为a，BC与l3的夹角为，由对称性，不妨设060，则BC与l2的夹角也为，AB与l2的夹角就是60，asin2，asin(60)1，两式相比，得sin2sin(60)，即sincossin，2sincos，tan，sin，a.高考模拟预测1(2009宁波十校联考)设G是ABC的重心，且(56sinA)(40sinB)(35sinC)0，则B的大小为()A15 B30C45 D60解析：G为ABC的重心，0，56sinA40sinB35sinC，结合正弦定理有56a40b35c，ab，cb，由余弦定理有cosB，B60.答案：D2(2009江南十校素质测试)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A，b1，ABC的面积为，则a的值为()A1 B2C. D.解析：根据SbcsinA可得c2，由余弦定理得a2b2c22bccosA3，故a.答案：D3(2009佛山第一次质检)如图，位于港口O正东20海里B处的渔船回港时出现故障位于港口南偏西30，距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要_小时解析：由余弦定理得BC10，从而需小时到达B处答案：4(2009南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处则两艘轮船之间的距离为_海里解析：连接AC.则AC5，在ACD中，AD3，AC5，DAC45，由余弦定理得CD.答案：5(2009宁夏、海南高考)如下图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解：作DMAC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得，cosDEF.备选精题6(2009福建质检)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(1,1)，n(cosBcosC，sinBsinC)，且mn.(1)求A的大小；(2)现给出下列三个条件：a1；2c(1)b0；B45.试从中再选择两个条件以确定ABC，求出你所确定的ABC的面积解：(1)mn，cosBcosCsinBsinC0，即cosBcosCsinBsinC，cos(BC).ABC180，cos(BC)cosA，cosA，A30.(2)方案一：选择，可确定ABC.A30，a1,2c(1)b0