添辅助线构造全等三角形.doc

全等三角形综合一、添辅助线构造全等三角形DECAB常见的辅助线有：DAECB题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，ABC中，BD=DC，延长AD到E，使DE=AD，连结CD或BE。则有结论CDEBDA或BDECDA题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，1=2，ABAC，则在AB上截取AE=AC，连结DE，必有结论ADEADC.如图(2)，若延长AC到E，使AE=AB，连结DE，必有结论ADEADB.F21EDCBA12EDCBA21EDCBA如图(3)，若作DEAB于E，DFAC于F，必有结论DE=DF.二、例题例已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，A= D。求证：B= E。ABCDEF分析：要证B=E，通常的思路是要证ABC DEF，但如果连结AC、DE就会破坏A=D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：ABFDEC，于是可证ABF= DEC，进一步即可证明ABC= DEF证明：连结BF、CF、CE如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的一个常用手段。例如图，点F是CD的中点，吗？试说明理由。分析：分析题目结论假定，可转化为，需证它们所在的两个三角形全等；解：例：已知：如图，ADBC，AE、BE分别平分DAB和CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF证明（二）：延长AE、BC交于点F。例：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。例：四边形ABCD中AC平分BAD, 且ADC与B互补, 求证: CD = CB分析: 图中CD与CB虽然位于两个不同的三角形中, 但从图形直观看就不全等, 因此需要构造全等三角形, 而已知中AC平分BAD的条件提示我们, 可在角平分线的两旁构造全等三角形, 由于已有了一组等角与公共边, 则只需在AB上截取AE = AD即可, 从而构造出ADCAEC, 得到CD = CE, 下面只需在CBE中证明CB = CE。证明: 在AB上截取AE = AD, 连接EC例：如图在ABC中ADBC于D, AE是BAC的平分线, AB AC。求证: 分析: 要证, 可想办法构造出然后证明与EAD相等, 又由已知AB AC, 则有C B, 所以可在C上作出两角之差。证明: 过C点作CNAE于N交AD于M交AB于P通过例和例可以看到可在角平分线两旁构造全等三角形，方法之一如例7采用的截取法，方法之二过角边上一点向角平分钱引垂线交另一边于一点，若已有和角平分线垂直的线段，可延长这条线段和角的一边，这两种情况都可在角平分线两旁构造全等三角形。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：DABC中，AD是BC边上的中线。求证：分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。又如前面的例3、例，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。例：已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，EDF=90。求证：分析：从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D是中点，可考虑延长，又考虑到EDF是直角，所以可以达到把EF用EG代换，而BF可以用CG代换，问题可以得到解决。证明：延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。三、练习1、已知：如图，中，AD、CE是的角平分线，相交于点O。求证：AE+CD=AC、已知：如图，CD=AB，BDA=BAD，AE是的中线。求证：AC=2AE、已知ABC中A