2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理学案新人教A版.docx

63.1平面向量基本定理考点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算 问题导学预习教材P25P27的内容，思考以下问题：1基底中两个向量可以共线吗？2平面向量基本定理的内容是什么？平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底若e1，e2不共线，把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底名师点拨 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底(2)基底e1，e2确定后，实数1，2是唯一确定的 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)基底中的向量不能为零向量()(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示()答案：(1)(2)(3)(4) 设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A2e1，3e2Be1e2，3e13e2Ce1，5e2 De1，e1e2答案：B 若AD是ABC的中线，已知a，b，则以a，b为基底表示()A.(ab) B.(ab)C.(ba) D.ba解析：选B.如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而，即，从而()(ab)平面向量基本定理的理解设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)【解析】设e1e2e1，则无解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解，所以e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底因为e12e2(4e22e1)，所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底【答案】对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样1设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与；与；与；与.ABC D解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而，故可作为基底2点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()A.，B.，C.， D.，解析：选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量用基底表示平面向量如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用基底a，b表示向量，.【解】ab.ba.1变问法本例条件不变，试用基底a，b表示.解：由平面几何知识知BGBF，故aabaab.2变条件若将本例中的向量“，”换为“，”，即若a，b，试用基底a，b表示向量，.解：222ba.222ab.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 1在ABC中，点D在边AB上，且，设a，b，则为()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选B.因为，a，b，所以aaa(ba)ab.2如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC3AD，a，b.试以a，b为基底表示，.解：连接FA，DF.因为ADBC，且ADBC，所以b，所以b.因为，所以b，所以ab.所以bba，()ba.平面向量基本定理的应用如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN.【解】设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以APPM41，BPPN32.1变问法在本例条件下，若a，b，试用a，b表示.解：由本例解析知BPPN32，则，b()babba.2变条件若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求APPM与BPPN.解：如图，设e1，e2，则2e2e1，2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得e12e2，2e1e2.故(2)e1(2)e2.而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得 1设e1，e2是平面内的一个基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由，解得故e1e2ab.答案：2在ABC中，D为AB上一点，若2，则_解析：因为2，所以()因为在ACD中，()，所以.答案：1如图在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)解析：选A.()()(5e13e2)2已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy2.3.如图，在平行四边形ABCD中，设a，b，试用基底a，b表示，.解：法一：设AC，BD交于点O，则有a，b.所以ab，ab.法二：设x，y，则y，又所以解得xab，yab，即ab，ab.A基础达标1若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a，使ae1e2的实数，有无数多对；若1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使e1e20，则0.ABC D解析：选B.由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确对于，当12120时，这样的有无数个故选B.2在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若e1，e2，则()A.(e1e2) B.(e1e2)C.(2e2e1) D.(e2e1)解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.3已知e1，e2为基底，向量e1ke2，2e1e2，3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2 B3C2 D3解析：选A.e12e2(e12e2)又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k2.4已知ABC的边BC上有一点D，满足3 ，则可表示为()A. B.C.23 D.解析：选B.由3 ，得().5若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B.C. D.解析：选C.因为4rs，所以()rs，所以r，s.所以3rs.6已知a，b是一个基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一个基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以解得所以xy3.答案：37已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，若a，b，用a，b表示向量，则_解析：，因为20，所以2()()0，所以22ab.答案：2ab8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若(，R)，则_解析：因为，所以，所以，.答案：9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一个基底；(2)以a，b为基底表示向量c3e1e2.解：(1)证明：假设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得所以不存在故a与b不共线，可以作为一个基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.所以解得所以c2ab.10.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来解：ab，b(ab)ab，()(ab)B能力提升11若e1，e2是平面内所有向量的一个基底，且a3e14e2，b6e1ke2不能构成一个基底，则k的值为_解析：当ab时，a，b不能构成一个基底，故存在，使得ab，即3e14e2(6e1ke2)，所以63，且k4.解得，k8.答案：812已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，y，x，其中x，yR，且均不为0.若，则_解析：因为xy，由，可设，即xy() ，所以则.答案：13.如图所示，在OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与交于点P，用向量a，b表示，则_解析：因为，设m，n，则mam(ba)(1m)amb，n(1n)bna.因为a与b不共线，所以n.所以ab.答案：ab14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足3，线段CO上有点N满足(0)，设a，b，已知ab，试求实数，的值解：依题意得ba，ab，且(ab)ab，(a