流体力学PPT-chapter4.1

第四章二维势流 理想不可压缩流体流动 基本方程组 如果 常数 上述4个方程包含4个未知数 p 方程组是封闭的 由于忽略了流体的可压缩性 流体动力学问题和热力学问题可分开来解 连续方程和动量方程不再需要和能量方程联立求解 但压强和速度仍然耦合在一起 需要同时解出 忽略流动的粘性和可压缩性 连续方程和N S方程可化简为 理想不可压缩流体流动 基本方程组的边界条件 粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件 由于理想流体动量方程中失掉了高阶粘性项 欧拉方程比N S方程低了一阶 她就不需要象粘性流方程组那样多的边界条件 对理想流体采用法向无穿透条件 壁面上允许存在切向滑移速度 固壁静止时 上述边界条件相当于要求固体壁面是流场中的一条流线 无穷远边界条件 势流 势流流场中处处涡量为零 称势流 或 在重力场作用下的理想不可压缩流体 如果绕流物体的流动起始于无旋流动 开尔文定理保证流动始终保持无旋 即势流 速度势函数 不可压缩流体 称速度势函数 在不可压缩流体条件下 满足拉普拉斯方程 势流基本方程组 边界条件 在静止固壁上 无穷远处 势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大的简化 后者有四个方程 而前者只有两个方程 欧拉方程是非线性方程 是线性方程 线性方程一个突出优点是解具有可叠加性 势流伯努利方程也是非线性的 但不存在求解困难 后者求解过程中 耦合在一起需联立求解 对于势流不再耦合在一起 可分开求解 先求出 即可求得速度场 再求解伯努利方程得到压强场 也是解 其中是不全为零的常数 在后续章节会经常用到线性方程的这一性质 拉氏方程解的可叠加性 如是解 则 4 1流函数 流函数 不可压缩流体平面流动的连续方程 则函数 自动满足上述连续方程 称流函数 定义 4 1流函数 流函数 从满足连续方程出发而定义 因此适用于无旋和有旋流动 在无旋条件下 满足拉式方程 势函数 从满足无旋条件出发而定义 因此只适用于势流 在不可压缩流体条件下 满足拉式方程 流函数 与涡量 对于xoy平面的二维流动 代入 如流动无旋则 4 1流函数 流函数性质1 const 的线是流线 空间任意相邻两点间的流函数变化 若两点取在的同一条曲线上 上式即流线方程 表示一个流线族 4 1流函数 流函数性质2 在两条流线间流动的流体流量等于这两条流线的流函数值之差 通过dl的流体流量 4 1流函数 流函数性质3 流线和等势线相互正交 的线称等势线 空间任意相邻两点间的势函数变化 在一条等势线上的任意两点间 即流线和等势线相互正交 4 2复位势和复速度 科西 黎曼条件 上式称柯西 黎曼条件 流函数和速度势函数中有一个已知 另一个即可以由上式求出 z x iy 4 2复位势和复速度 复位势 F z 的实数部分是速度势函数 虚数部分是流函数 满足柯西 黎曼条件 根据复变函数理论 F Z 是解析函数 构造复函数 F z i 4 2复位势和复速度 复速度 因为F z 是解析函数 因此其导数的值与求导方向无关 只是平面点的函数 请注意w z 的虚部是 v 实际速度则是上述复速度的共軛值 复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其本身点乘 平面内的速度可分解为u v 也可分解为 4 2复位势和复速度 柱坐标下的复速度 于是 4 2复位势和复速度 平面无旋运动和复位势 任何一个平面无旋运动都存在着相应的速度势函数 和流函数 和 满足柯西 黎曼条件即 于是可构造一个解析函数F z 与之对应 给定一个解析函数F z 其实数和虚数部分 和 必定满足柯西 黎曼条件 因此可分别看作一个平面无旋运动的速度势函数和流函数 即有一个平面无旋运动与F z 对应 当然并非所有的 和 都可以作出有物理意义的解释 平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系 复变函数是强有力的数学工具 复变函数的方法不能推广到三维流动中去 4 3均匀流 F z cz c为实数 W z c u iv如沿x轴方向速度为U 则F z Uz 从本节开始将给出一些基本流动的复位势 U F z icz c为实数 W z ic u iv如沿y轴方向速度为V则 F z iVz 4 3均匀流 V 4 3均匀流 c 为实数 如速度如图示 用速度的模和幅角表示为 则 4 4 汇 和点涡 c 0 实数 0 2 点源 4 4点源 汇 和点涡 点源 势函数 流函数 等势线 R c 以原点为中心的同心圆族 流线 c 从原点出发的射线族 4 4点源 汇 和点涡 点源 速度场 可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出 速度只有R方向分量 离开原点愈远速度愈小 根据连续方程 通过每个同心圆的流体流量相等 原点是奇点 速度无穷大 4 4点源 汇 和点涡 点源 强度m 强度m定义为单位时间从点源释放出的流体流量 设垂直于流场为单位高度 围绕半径为R的圆作积分 若点源在点 则 4 4点源 汇 和点涡 点汇 以 m代替m就得到点汇的复位势 或 4 4点源 汇 和点涡 点涡 势函数流函数 等势线 从圆点出发的射线族 流线R c 同心圆族 4 4点源 汇 和点涡 点涡 速度场 速度只有 方向分量 流动沿逆时针方向 c 0 原点是奇点 速度无穷大 4 4点源 汇 和点涡 点涡强度 以速度环量来度量点涡强度 点涡位于点时 以代替即可得出顺时针旋转的涡 4 4点源 汇 和点涡 自由涡和强制涡 自由涡 速度随着R增加而减少 沿任一不包括奇点在内的封闭曲线的速度环量为零 即除奇点外 流动是无旋的 可以认为所有的环量和涡量都集中在奇点 强制涡 速度与R成正比 整个流体象刚体一样围绕中心旋转 旋转角速度为 此种流场是处处有旋的 一个典型的龙卷风流场在核心部分是强制涡流动 涡核周围的流动则表现为自由涡 为常数 4 5绕角流动 U n为实数 0 2 4 5绕角流动 势函数流函数 这两条发自原点的射线构成交角为 n的角形区域 两条线之间的流线由决定 零流线为 0 n 4 5绕角流动 典型流动 n应大于 小于 时得到大于2 的区域 这显然没有物理意义 4 5绕角流动 速度场 U 0时沿流线的速度方向已表示在左图中 角点处速度 角点处流速在n 1和n1 时绕流角点处流速为零 大于 角 n 1 时绕流角点处流速趋于无穷大 根据伯努利方程该点压强趋于负无穷大 等于 角 n 1 时直线流动介于两者之间 角点处速度