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利率互换和货币互换的定价思想和定价模型刘蕾 数量经济系利率互换和货币互换的估值及定价，既涉及到数学问题也涉及到技术问题。在对互换交易进行估价和定价的过程中，不同的市场对收益的计算方法往往不同，而且互换交易不是标准化的场内交易，因此，其定价过程也就相对复杂了。对于互换定价我们用的也是无套利均衡分析方法。即互换定价，通常是指寻找一种合适的固定利率，使某一笔新互换交易净现值为零(否则就存在无风险套利机会)。而所谓估值是指确定某一笔现存互换业务净现值，其固定利率是已知的。简单的说，定价是另净现值为零求固定利率；而估值是用已知的固定利率确定净现值。而且类似于其他金融衍生工具的定价，我们对互换定价也应有以下的基本假设：1、假设市场是完全的，不存在无风险利润； 2、假设投资者可进行无限制买空和卖空； 3、不存在交易费用；4、不存在违约风险这里针对利率互换和货币互换的定价分别进行讨论。一、利率互换的估值和定价利率互换是协议双方同种货币的固定利率与浮动利率之间的互换。利率互换的定价，就是要定出与浮动利率互换的固定利率的大小。求解互换的固定利率，首先是将未来各期浮动利率的支付款进行贴现求总（这其实也就是对浮动利率支付款估值），然后根据净现值为零，即浮动利率的支付款和固定利率支付款现值相等的技术将固定利率求解出来。固定利率收取方的现金流量如下： ik ik ik ik ik ik ？ ？ ? ？ ？ ？ 图 1 同种货币内部的普通利率互换应该指出，浮动利率的确定是采用与某种利率指数挂钩的办法。从理论上讲，采用短期国债利率作为利率指数最有道理，实际上最常用的是伦敦银行同业拆放利率，即LIBOR(London InterBank Offer Rate)，非标准的互换的浮动利率有时用LIBOR加减若干基本点（一个基本点是0.01%）给出。另外，对于普通标准利率互换来说，浮动利率应该是无风险利率。因此，未来浮动利率期望值就是远期利率。也就是说，我们用远期利率作为浮动利率。因此，我们首先从对浮动利率部分的估值开始。假设一次K期利率互换交易的浮动利率部分现值的一般表达式为： （1） 其中： 为浮动利率部分的现值 为自时点j-1至时点j的远期利率 为自时点j-1至时点j的名义本金额 为自时点j-1至时点j的天数 为时点j贴现因子 为日期计算方法中的分母(通常360或365)固定利率部分现值的表达式与此相似： （2）其中： 为固定利率部分的现值 为整个互换协议期间的固定利率然后令 将（1）和（2）是代入得： （3）（3）式可以用于标准和非标准利率互换的定价。另外，在第一步中对于互换的浮动利率部分进行估值时，有一个简单的方法。考虑如图2中的五年期普通利率互换（每年付息一次），收取浮动利率支付款的交易方的现金流量。其中，每笔款项的金额在定息日之前是无法确知的，从而在互换开始交易的现值总和亦无法确知。 ？ ？ ？ ？ ？ 图2 互换利率部分的现金流量假设这一交易方有另一种选择。他可以不对名义本金额1百万美元收取五笔浮动利息而是收取这1百万美元的本金本身，但在5年时间之内必须偿还1百万美元，图3中显示了这个方案的现金流量。 100万美元 100万美元 图3 用本金的交换代替浮动利率部分的现金流量如果这一交易方选择第2种交易方案，则他可将最初流入的1百万美元用于每次为期一年的连续投资。在每次投资开始时，利率将按照当时的市场利率确定，而相应的利息则将于每一投资期结束时收取。在最后一个投资期结束时，1百万美元的投资将被归还，正好用于履行最后偿付1百万美元的义务。图4中显示了这些现金流量。那么，在期初和期末各两笔1百万美元彼此抵消，剩下的净现金流量与图2中的完全一致。如果投资者选择了第二种方案，并且以市场利率将收到的本金用于投资，其所获得的现金流量与第一种方案下的一模一样。也就是说，两种方案实际上是一致的！ 100万美元开始流入 投资的回报100万美元 ？ ？ ？ ？ ？ 开始的100万100万美元投资 美元流出 图4 将本金用于投资而这两种方案的性质是很不一样的。图2中的现金流量虽规律但不确定，而图3的现金流量则是确定的便于计算。从上面的例子可以得到一般的结论：一系列浮动利率现金流量可以为本金的交换所代替，但仅仅是在进行估值时可以这么做。从而，在进行估值时，我们可以将一系列的浮动利率现金流入用下面两者来代替：（1） 在第一个计息期开始时名义本金的流入（2） 在最后一个计息期终了时名义本金的流出所以，名义本金额名义本金额最后计息期的贴现因子经过这一替代，估值就容易的多了，因为现在只有两笔现金流量，并且不需要计算全部的远期利率。因此，用本金的交换替代一系列浮动利息的支付是一种简单的技术。但是应注意，这种代替仅是为了计算和估值的目的，在利率互换中不真正交换本金的。二、货币互换的估值和定价货币互换可以看作是利率互换的特殊形式，它的定价是建立在利率互换基础上的。这里分别对货币互换的三种形式作简单的讨论：1、固定利率固定利率货币互换首先，我们考虑同种货币内部的普通利率互换，如图5所示。互换利率i1是正确定价的结果，从而互换的净现值为零。 i1 i1 i1 i1 i1 i1 ？ ？ ? ？ ？ ？ 图5 同货币内部的普通利率互换因为浮动利率支付的现金流可以用期初和期末相等的本金现金流出和流入来替代，图6中显示了这一替代的结果。 P i1 i1 i1 i1 i1 i1 P 图6 浮动利率部分为本金的交换所代替的利率互换 如果对另一种货币做一个相反的结构就会产生图中所示的现金流量。使P1和P2的比例按开始互换时的即期汇率，就确保了两笔互换的价值相等。这就构造了固定利率固定利率的货币互换。如图7 P2 P1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 i2 i2 i2 i2 i2 i2 P1 P2 图7 固定利率固定利率货币互换它的定价是这样的：按期初的即期汇率定出P1和P2，对P1和P2分别按各自货币做浮动利率与固定利率来定出i1和i2，以后就定期的按照i1和i2互换利息。2、浮动利率浮动利率货币互换可以用相同的办法建立浮动利率浮动利率货币互换。图8中显示了这种互换和一半，包括初始和最终的本金交换。 P ? ？ ？ ？ ？ ？图8 浮动利率浮动利率货币互换的一半 P P P P 图9 本金的交换所代替之后的浮动利率支付额 我们可以再次运用以本金的交换代替浮动利率现金流的方法，从而形成图9所示的结构。从图9中可明显看出，这一结构的净现值