我的生日是星期几---寻找公式.doc

我的生日是星期幾尋找公式壹、 摘要本研究主要在探討年、月、日和星期之間的關係，過程是先利用近100年的日子，找出一個確定方法，來計算任何一年的年、月、日和星期的算法，在利用此法來當成驗證的工具，接下來在從西元0001年開始找出適合的公式，並逐步擴大年份，並修正公式。貳、 研究動機一年當中有許多重要的日子，例如過年、除夕、元旦、生日及紀念日等等，而這些重要的日子，通常只記得年、月、日，但卻不知道是星期幾，若想知道歷史上這些重要的日子，或是未來的任何一天是星期幾，不翻開日曆能算出來嗎？當然要是有足夠的耐心，仔細的推算回去或是往前推，也可以算的出來，但別忘了每年還有分閏年和平年，這樣做恐怕要花不少時間，因此我們這次的科展研究主題，就是要試著看看，能不能找到一個規則，讓下次要推算時能更方便。參、 研究目的一、 利用儒略曆的規則，試著找出西元20012100，100年之間每年的一月一日是星期幾二、 試著利用修正後的儒略曆，找出2100年之後和2001年之前，每年的一月一日是星期幾的表格三、 試著找出一年當中其他月日和星期的配合四、 試著找出年月日星期的公式解肆、 研究設備及器材電腦一部、電子計算機一台、筆和紙。伍、 研究過程或方法先備知識：在開始研究之前，要先有以下表格的認知一月二月三月四月五月六月七月八月九月十月十一月十二月3128或2931303130313130313031一、 利用儒略曆的規則，試著找出西元20012100，100年之間每年的一月一日是星期幾？根據羅馬凱撒大帝所訂的儒略曆規則，每四年有一個閏年366天（二月有29日）其餘三年為平年365天（二月有28日），而公元年數能被四除盡的就是閏年，我們從今年2003年的一月一日是星期三，往前往後找出如下表格一：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016201720182019202020212022202320242025202620272028202920302031203220332034203520362037203820392040204120422043204420452046204720482049205020512052205320542055205620572058205920602061206220632064206520662067206820692070207120722073207420752076207720782079208020812082208320842085208620872088208920902091209220932094209520962097209820992100(表一)此表格內是2001年2100年中各年的一月一日的星期二、 試著利用修正後的儒略曆，找出2100年之後和2001年之前，每年的一月一日是星期幾的表格？根據數學家克拉維斯把儒略曆修正後的規則，如下表二：西元平閏年規則00010099平平規則一：4的倍數就是閏年010001010399平平平規則二：4的倍數是閏年但100的倍數是平年0400未來閏(平)(閏)規則三：4的倍數是閏年但100的倍數是平年但400的倍數是閏年(表二)再利用表格一和表格二推出年月日星期的規則如下表三：16151413121110987654321300026002200180014001000600200星期四星期五星期六星期日星期一星期二星期三A310027002300190015001100700300星期二星期三星期四星期五星期六星期日星期一B3200280024002000160012008004000星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日C330029002500210017001300900500100星期六星期日星期一星期二星期三星期四星期五D使用方法：l 這表格全都是每年的一月一日元旦的星期。l 先找西元幾年（從左上年份加上右下年份配合）對到右上的星期幾表格。l 例如： 西元2000年一月一日是星期幾？ 解：先找（B，13）1900年 再找（V，3）100年 1900+100=2000 （B，13）和（V，3）的交叉點是（B，3） 又（B，3）星期六 答：西元2000年一月一日是星期六l 例如： 西元1958年一月一日是星期幾？ 解：先找（B，13）1900年 再找（O，6）58年 1900+58=1958 （B，13）和（O，6）的交叉點是（B，6） 又（B，6）星期三 答：西元1958年一月一日是星期三123456E789101112F1314151617G181920212223H2425262728I293031323334J353637383940K4142434445L464748495051M5253545556N575859606162O636465666768P6970717273Q747576777879R8081828384S858687888990T919293949596U979899100V(表三)三、 試著利用表格三找出一年當中其他月日和星期的配合：因為一星期有七天，每七天就一個循環，所以我們利用同餘的概念，來推算年月日和星期的配合：(一) 方法：利用同餘的概念先找出那年的一月一日到一月七日分別是星期幾，再利用同餘的概念去推算：例如1.： 2，9，16，23，、（7n+2）（註：n是正整數）除以7餘數都是2若2代表星期一；則下一個星期一就是9；在下一個就是16；依此類推。舉例：2000年一月一日是星期六（只要餘數是1就是星期六）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/31/41/51/61/71/11/2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2例如2.： 題目：2000年9月21日是星期幾？分析：從2000年1月1日算起到9月21日有265天2657=37餘6由餘數6可以看出2000年9月21日是星期四舉例：2003年一月一日是星期三（只要餘數是3就是星期三）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/61/71/11/21/31/41/5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5例如3.： 題目：2003年9月21日是星期幾？分析：從2003年1月1日算起到9月21日有264天2647=3餘5由餘數5可以看出2003年9月21日是星期天小結只要利用同餘的概念，再配合表三，則我們要找年月日是星期幾的方法就有了，接下來我們要討論分析的是，如何去找出公式。四、 試著找出年月日星期的公式解：我們試著利用函數的概念來下手（一） 把年（西元）當成自變數1，假設為X1（二） 把月日一起看，換句話說，就是那天是一年當中的第幾天，當成自變數2，假設為X2（三） 把要求得的星期，當成應變數，假設為F（X）自變數1自變數2應變數X1X2F（X）西元（年）月、日天數星期0001X1=11月1日1X2=1一F（X）=10001X1=11月2日2X2=2二F（X）=22003X1=20032月1日32X2=32六F（X）=6(表四)表四 F（X）=X1和X2或更多的變數所組成步驟一我們先從西元1年開始討論，我們討論的方式是利用方程式的觀念，試著去猜出公式來，再用表三的規則和同餘的概念來作驗證，再一步一步的加入更多的規則和年份。分析(一)西元0001年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=1；X2=31+28+31+1=91；F（X）=917=13餘0由餘數0可說西元0001的四月一日是星期日，但不可能在計算時都從西元0001的一月一日開始算，所以一定要把年份X1這變數放入函數F（X）中，因此修正方法F（X）=【（1-1）+91】7=13餘0由此得到一個公式1F（X）=【（X1-1）+X2】7看餘數.公式一若是餘1就是星期一；餘2就是星期二，依此類推到餘6就是星期六，而餘0就是星期日驗算(一)由表三查出西元0001的一月一日是星期一星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/11/21/31/41/51/61/7餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0西元0001年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期日小結(一)F（X）=【（X1-1）+X2】7看餘數.公式一分析(二)西元0002年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=2；X2=31+28+31+1=91；利用公式一代入F（X）=【（2-1）+91】7=13餘1由餘數1可說西元0002的四月一日是星期一驗算(二)由表三查出西元0002的一月一日是星期二星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/71/11/21/31/41/51/6餘數是0餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6西元0002年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期一小結(二)由以上兩個例子確定公式一可行F（X）=【（X1-1）+X2】7看餘數.公式一步驟二利用小結一的公式一可適用於西元00010004年月日和星期的配對，但西元四年是閏年，其後的配對將有所變動，所以我們就再次的分析驗算及修正公式一分析(一)西元0004年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=4；X2=31+29+31+1=92；利用公式一代入F（X）=【（4-1）+92】7=13餘4由餘數4可說西元0004的四月一日是星期四驗算(一)由表三查出西元0004的一月一日是星期四星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/51/61/71/11/21/31/4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4西元0004年的四月一日31+29+31+1=92927=13餘1餘數1查上表是星期四小結(一)由以上分析三的例子可看出西元0004也可適用公式一F（X）=【（X1-1）+X2】7看餘數.公式一分析(二)西元0005年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=5；X2=31+28+31+1=91；利用公式一代入F（X）=【（5-1）+91】7=13餘4由餘數4可說西元0005的四月一日是星期四驗算(二)由表三查出西元0005的一月一日是星期六星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/31/41/51/61/71/11/2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2西元0005年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期五小結(二)由以上分析四的例子可看出西元0005年若按照公式一去運算，則會有誤差調整(二)只要讓公式一的被除數加1就可以了，但單純只是加1，將會影響到西元0005年之前的計算，所以經過多次的試驗，若只加上X14的商部分，如此公式一將調整為F（X）=【（X1-1）+X2+（X14的商部分）】7看餘數.公式二我們重新用公式二驗算分析是否可行分析(三)西元0005年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=5；X2=31+28+31+1=91；利用公式二代入F（X）=【（5-1）+91+（54的商部分）】7=13餘5由餘數5可說西元0005的四月一日是星期五驗算(三)由表三查出西元0005的一月一日是星期六星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/31/41/51/61/71/11/2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2西元0005年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期五小結(三)由以上分析的例子確定公式二可適用於西元0005年F（X）=【（X1-1）+X2+（X14的商部分）】7看餘數.公式二以下在分析一個例子看看是否適用於公式二分析(四)西元0006年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=6；X2=31+28+31+1=91；利用公式二代入F（X）=【（6-1）+91+（64的商部分）】7=13餘6由餘數6可說西元0006的四月一日是星期六驗算(四)由表三查出西元0006的一月一日是星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/21/31/41/51/61/71/1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1西元0006年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期六步驟三利用公式二可適用於西元00010007年月日和星期的配對，但西元8年是閏年，其後的配對將有所變動，所以我們就再次的分析驗算及修正公式二分析(一)西元0008年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=8；X2=31+29+31+1=92；利用公式二代入F（X）=【（8-1）+92+（84的商部分）】7=13餘3由餘數3可說西元0008的四月一日是星期三驗算(一)由表三查出西元0008的一月一日是星期二星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/71/11/21/31/41/51/6餘數是0餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6西元0008年的四月一日31+29+31+1=92927=13餘1餘數1查上表是星期二分析(二)西元0009年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=9；X2=31+28+31+1=91；利用公式二代入F（X）=【（9-1）+92+（94的商部分）】7=14餘3由餘數3可說西元0009的四月一日是星期三驗算(二)由表三查出西元0009的一月一日是星期四星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/51/61/71/11/21/31/4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4西元0009年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期三調整(二)由以上幾個分析我們可以看到，只要每到西元是4的倍數時，公式就要修改，因為4的倍數是閏年，那一年有366天，則4N+1年的一月一日，所配合的星期就不會是4的倍數年一月一日的隔一天，會隔兩天，所以經過多次的試驗，我們把公式二的（X14的商部分）這一項，修改為【（X1-1）4的商部分】。小結(二)由以上分析及調整把公式二改成公式三F（X）=【（X1-1）+X2+【（X1-1）4的商部分】7看餘數公式三分析(三)西元0085年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=89；X2=31+28+31+1=91；利用公式三代入F（X）=【（85-1）+91+【（85-1）4的商部分】7=28餘0由餘數0可說西元0085的四月一日是星期日驗算(三)由表三查出西元0085的一月一日是星期一星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/11/21/31/41/51/61/7餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0西元0085年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期日小結(三)由以上分析及調整後公式三可適用於西元00010100年F（X）=【（X1-1）+X2+【（X1-1）4的商部分】7看餘數公式三步驟四從以上的幾個分析可得知西元100年以內的年月日，可以利用公式三來運算，但依照克拉維斯對儒略曆的修正規定，如同表二所示的規則，而西元100年以後又要如何修正公式三？因為每四年就閏年一次，但碰到100的倍數又要改成平年，換句話說，就是本來四的倍數閏年會隔兩天，但若是四的倍數就不隔兩天，只是隔一天而已，若利用公式三則再西元0101年時，會比實際計算的年月日和星期之配合多算一天，由以下的分析來看一看，以上的假設是否正確。分析(一)西元0101年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=101；X2=31+28+31+1=91；利用公式三代入F（X）=【（101-1）+91+【（101-1）4的商部分】7=30餘6由餘數6可說西元0101的四月一日是星期六驗算(二)由表三查出西元0101的一月一日是星期六星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/31/41/51/61/71/11/2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0餘數是1餘數是2西元0101年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期五小結(二)由以上分析十可看出若利用公式三去運算西元100年之後的日子，確實會比實際情況多一天，但又不能因此就刪去【（X1-1）4的商部分】這一項或單純把被除式減1，因為這會影響到西元100年之前的運算。既然不能變動之前的公式三，所以我們就想利用加入或減去一個可在運算西元100年之後才適用的項數，所以我們經過多次的試驗，試著把公式三修改成F（X）=【（X1-1）+X2+【（X1-1）4的商部分】-【（X1-1）100的商部分】7看餘數.公式四修改成把被除式減去【（X1-1）100的商部分】，理由就是每到100年的倍數就是平年，也就不需要利用【（X1-1）4的商部分】這一項，把年月日和星期的配合隔兩天，但其他不是100的倍數年，右還需要【（X1-1）4的商部分】這一項，因此把公式三的被除式減去【（X1-1）100的商部分】這一項，其理由就是讓100的倍數年是平年的關係，所造成西元100200年全往前移一天，而之間的日期還是依照每四年閏年一次的規則去運行。步驟五由步驟四可得知公式四，可適用於西元0001西元0400年，若再次的向後延伸到西元400年之後，則400年的倍數又是閏年，因此西元401年的一月一日所配合的星期，就是西元400年一月一日所配合的星期隔兩天。由以下的分析十一來看一看，以上的假設是否正確。分析(一)西元0401年的四月一日是星期幾？由表四得知X1=101；X2=31+28+31+1=91；利用公式四代入F（X）=【（401-1）+91+【（401-1）4的商部分】-【（401-1）100的商部分】7=83餘6由餘數6可說西元0401的四月一日是星期六驗算(一)由表三查出西元0401的一月一日是星期一星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1/11/21/31/41/51/61/7餘數是1餘數是2餘數是3餘數是4餘數是5餘數是6餘數是0西元0401年的四月一日31+28+31+1=91917=13餘0餘數0查上表是星期日小結(一)由以上分析十一可看出，若利用公式四去運算西元400年之後的日子確實會比實際情況少一天，意思就是F（X）的被除式要再增加一天，但又不能影響到其他年份的計算，經過多次的試驗，我們把公式四修改成公式五F（X）=【（X1-1）+X2+【（X1-1）4的商部分】-【（X1-1）100的商部分】+【（X1-1）400的商部分】7看餘數.公式五小結(二)經過多次的利用同餘的概念去驗證，得知公式五確實是一個很好的方法來找年月日和星期的配對。最後我們再次試著去分析表三和公式五是否可運用