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傅立叶 变换和卷积的物理意义 很逗的傅立叶变换和卷积的物理意义(很逗的)2010-11-0920:54这里没有数学公式，倒不是像费曼那样高风亮节，而是这里输入公式太烦，不然.突然说这个话题是因为在水房洗衣的时候，一数学系正在刮胡子的哥们突然问我傅立叶变换的物理意义是什么?当时我就死机了，不知怎么答。傅立叶变换伴随了我四年，从数学分析课上学会计算，然后光学中的夫朗和费衍射，接着信号处理，然后是SRTP中的数字全息都和这个息息相关，可是，课堂上强调的是会算，会用就行了，而对其物理意义，书上语焉不详，老师只字未提。傅立叶变换的产生，是一个叫约瑟夫.傅立叶的法国人热的分析理论中作为一个数学工具而引入的，所以它的发展一直在其工具出身的阴影下，对于其意义不同学科有不同版本的阐释，但更多的是作为一个计算工具辅助计算，所以要我说其有什么物理意义，一时间真的不知怎么回答。于是我只好举个例子，傅立叶变换在光学上的物理意义。我们都知道，会聚透镜(简单地说，就是普通的凸透镜啦)除了具有成像性质外，最有用的就是它还具有进行二维傅立叶变换的本领。由物理光学可知，在单位振幅的平面光波垂直照明下的夫朗和费衍射，恰好实现衍射屏透过率函数的傅立叶变换。即一束光通过凸透镜在焦平面上采集到的图像即为这束光的频率空间信息，亦即数学上对这束光进行一次傅立叶变换后的结果。所以傅立叶变换在这里的物理意义就是将光的空间分布转换为频率分布(相空间)，在靠近原点的部分为图像低频部分，远离原点部分为图像高频部分。这时那哥们就问:那么变换后高频部分对应图像的哪一部分呢?因为有个老师讲课时说，原来原点部分对应变换后距原点无穷远处，而原来的无穷远处则对应变换后的原点。(我突然想起了倒易空间，联想到这个没什么道理)直觉上我觉得这样说是错误的，因为傅立叶变换并非一一对应的，频率空间上任何一处，哪怕只有一点都与原来的整幅图像有关，也就是说，这是非局域性的。举个例子，全息图，任取全息图的一部分还原(做一次逆傅立叶变换)成的图像都是原来的整幅图像，但由于高频信息的缺失所以还原图像比原图像要模糊。而频率空间体现的是什么呢?是原图像的变化程度。举个最简单的例子，一束平行光经过凸透镜后在焦平面(即频率空间)上会聚为一点，在数学上就是平面波函数经过傅立叶变换后得到一个常量(信号处理上又称为直流量)，意思是原来的图像(平面波)没有起伏(即光强变化，因为是平行光)，所以在原点(低频)处有一点强光，数学上是冲击函数，这样搞过信号的人大概会共鸣了吧。没错!信号书上经典例题，对阶跃函数和冲击函数通过傅立叶变换在物理光学上的对应就是平行光通过凸透镜。这就是傅立叶变换在光学上的物理意义，至于傅立叶变换在量子力学上的意义.不写公式光靠文字描述的话我讲不清楚。还有就是卷积了，我只能说，它的图像意义便是两个函数随着自变量的变化不断重叠的面积的叠加，至于其物理意义我就说不清了，因为我接触卷积以来，它都只是计算工具，拉普拉斯变换啊之类的用于计算两个函数叠加的工具，变换之后又做逆变换，然后很方便地得出正确结果。我知道这肯定是不足的，除了知道怎么算(这是基础!)，然后知道图像意义，可是卷积肯定有对应的物理意义。工科老师上课时只是把这个当成一个工具，能用就行，可是这对学物理的我来说，对why有一种近似着魔的obsession，就像Nolan的ThePrestige里面对决的两个魔术师一样.P.S.Google卷积的物理意义得到的多数是定义，数学表达，图像意义，或者干脆给个例题:一个系统，其单位冲激响应为h(t)，当输入信号为f(t)时，该系统的输出为y(t)。y(t)是f(t)和h(t)的卷积。这些都不是其物理意义，最好给一个物理过程对应卷积的计算过程。谈起卷积分当然要先说说冲击函数-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。冲击函数是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。古人曰:说一堆大道理不如举一个好例子，冲量这一物理现象很能说明冲击函数。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变(它没有被挤没!)，为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛!于是卷积这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀!你我都感觉眩晕的卷积分产生了。=有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例:如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想:既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名?炒作呗!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政长官-县令。无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿!身上啥事也没有!第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天.每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久!这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了!县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题:这三十个大板子怎么不好使捏?.想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题:-人(系统!)挨板子(脉冲!)以后，会有什么表现(输出!)?-费话，疼呗!-我问的是:会有什么表现?-看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了(输出0);如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼(输出1);揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼(输出3);揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命(输出5);揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来(输出1);揍到五十个板子，他连哼一下都不可能(输出0)-死啦!县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度(输出)为Y轴，绘制了一条曲线:-呜呼呀!这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀?-呵呵，你打一次的时间间隔(=24小时)太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数;如果缩短打板子的时间间隔(建议=0.5秒)，那他的痛苦程度可就迅速叠加了;等到这无赖挨三十个大板(t=30)时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。-还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢?-这与人(线性时不变系统)对板子(脉冲、输入、激励)的响应有关。什么是响应?人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天(假设的，因人而异)内慢慢消失(衰减)，而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献:t个大板子造成的痛苦程度=(第个大板子引起的痛苦*衰减系数)衰减系数是(t-)的函数，仔细品味数学表