第四章 控制系统稳定性分析

第4章控制系统的稳定性分析 4 1稳定性的基本概念 4 2劳思 赫尔维茨判据 4 3Nyquist稳定性判据 4 4稳定性裕量 1940年 美国华盛顿州的塔科玛峡谷上花费640万美元 建造了一座主跨度853 4米的悬索桥 只要有风 这座大桥就会晃动 建成4个月后 于同年11月7日碰到了一场风速为19米 秒的风 风不算大 但桥却发生了剧烈的扭曲振动 且振幅越来越大 接近9米 直到桥面倾斜到45度左右 使吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而塌毁 坠落到峡谷之中 原因 流体对物体会产生一个周期性的交变横向作用力 如果力的频率与物体的固有频率相接近 引起共振 使物体损坏 第4章控制系统的稳定性分析 4 1稳定性的基本概念 4 2劳思 赫尔维茨判据 4 3Nyquist稳定性判据 4 4稳定性裕量 自动控制系统稳定性的定义 控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态 当扰动作用消失后 系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态 则称系统是稳定的 否则称系统是不稳定的 线性定常系统适用 4 1稳定性的基本概念 a 稳定 b 不稳定 稳定性是控制系统自身的固有特性 取决于系统本身的结构和参数 与输入无关 4 1稳定性的基本概念 自动控制系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根全部具有负实部 即 闭环系统的极点全部在S平面左半部 设系统传递函数为 假设系统特征方程的根中有K个实根 2k个共轭复根 在理想脉冲函数作用下 当t 0时 r t 0 对于稳定系统 时输出量c t 0 如果pi和 i均为负值 当t 时 c t 0 系统稳定 此时R s 1 稳定性与零点无关 与系统特征方程有关 4 1稳定性的基本概念 系统特征方程的根全部具有负实部 第4章控制系统的稳定性分析 4 1稳定性的基本概念 4 2劳思 赫尔维茨判据 4 3Nyquist稳定性判据 4 4稳定性裕量 特点 无需求解特征根 直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性 劳思 routh 判据 赫尔维茨 Hurwitz 判据 4 2劳思 赫尔维茨稳定判据 不受系统阶数限制 如不稳定还能判断有几个根在s平面的右半部分 只适用于低阶系统 劳思 routh 判据 赫尔维茨 Hurwitz 判据 4 2劳思 赫尔维茨稳定判据 劳思阵列 4 2 1劳思 routh 判据 如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零 系统稳定 如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数 系统不稳定 控制系统稳定的充分必要条件 劳思阵列第一列元素不改变符号 第一列中各数 注 通常a0 0 因此 劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零 劳思 routh 判据 4 2 1劳思 routh 判据 已知 特征方程如下 例1 判断系统稳定性 所以 系统不稳定 具有两个正实根 例2 求系统稳定时k的取值范围 例3 特殊情况1 第一列出现0 特殊情况2 某一行元素均为0 4 2 2劳思 routh 判据的特殊情况 各项系数均为正数 用任意小正数 代之 特殊情况1 第一列出现0 S2行第一列出现0 说明系统处于临界稳定状态 不稳定 如要再求有几个正实部特征根 其解决方法 特殊情况1 第一列出现0 特殊情况2 某一行元素均为0 4 2 2劳思 routh 判据的特殊情况 全0行的上一行元素构成辅助方程 各项系数均为正数 求导后方程系数代入全零行 特殊情况2 某一行元素均为0 S3行出现全0 说明系统处于临界稳定状态 不稳定 如要再求有几个正实部特征根 其解决方法 系统在s平面有对称分布的特征根 大小相等 符号相反的实根 共轭虚根 对称于实轴的两对共轭复根 原因分析 特殊情况2 某一行元素均为0 课堂练习 P1684 1 1 5 4 2 1 劳思 routh 判据 赫尔维茨 Hurwitz 判据 4 2劳思 赫尔维茨稳定判据 系统的n阶赫乐维茨行列式 取各阶主子行列式作为1阶 n 1 阶赫尔维兹行列式 赫尔维茨行列式 控制系统稳定的充分必要条件是 当a0 0时 各阶赫尔维茨行列式 1 2 n均大于零 一阶系统 二阶系统 a0 0时 a1 0 全部系数同号 a0 0时 a1 0 a2 0 全部系数同号 a0 0时 a0 0时 赫尔维茨 Hurwitz 判据 三阶系统 a0 0时 a1 0 a2 0 a3 0 全部系数数同号 a0 0时 a1a2 a0a3 四阶系统 a0 0时 a1 0 a2 0 a3 0 a4 0 全部系数数同号 a0 0时 一阶系统 a1 0 全部系数同号 a1 0 a2 0 全部系数同号 a1 0 a2 0 a3 0 全部系数同号 a1a2 a0a3 a1 0 a2 0 a3 0 a4 0 全部系数同号 归纳 a0 0时 二阶系统 三阶系统 四阶系统 K值的稳定范围 应用P148表中四阶系统赫尔维茨判据 例题 求K值的稳定范围 课堂练习 单位反馈系统 已知系统开环传递函数如下 判断上述系统开环增益K的稳定域 并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响 结论 增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利 特征矢量幅角变化与稳定性关系 一阶系统 D s 可视为复平面上的向量 特征方程 D s s p 0 4 3 1米哈伊洛夫定理 4 3Nyquist稳定性判据 当 变化时 D j 的端点沿虚轴滑动 其相角相应发生变化 在频域 D j p j 若特征根为负实根 系统稳定 若特征根为正实根 系统不稳定 二阶系统 特征方程 D s s2 2 ns n2 s p1 s p2 0 实根情形 1 当 由0变化到 时 共轭虚根情形 0 1 设根位于左半s平面 当 由0变化到 时 j p1的相角变化范围 0 2 变化量 2 0 j p2的相角变化范围 0 2 变化量 2 0 根位于右半s平面 共轭虚根情形 0 1 当 由0变化到 时 j p1的相角变化量 2 0 j p2的相角变化量 2 0 若所有特征根都在左半s平面 则当 由0变化到 时 若有q个特征根在右半s平面 则当 由0变化到 时 n阶系统 对于n阶系统 若有p个根位于复平面的右半面 有q个根在原点上 其余n p q个根位于左半面 则当 由0变化到 时 矢量D j 的相角变化量 米哈伊洛夫定理 n阶系统稳定的条件 当 由0变化到 时 矢量D j 的相角变化量 稳定系统 不稳定系统 临界稳定系统 Nyquist稳定判据 系统各特征多项式间的关系 开环含有积分环节 Nyquist稳定判据穿越法 Bode图中的Nyquist稳定判据 4 3 2Nyquist稳定性判据 系统的开环传递函数 系统的闭环传递函数 系统各特征多项式间的关系 闭环特征多项式 开环特征多项式 设新变量F s F s 建立了系统的闭环特征多项式 开环特征多项式和开环传递函数G s H s 之间的关系 系统各特征多项式间的关系 S j 代入 Nyquist稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件 也就是利用系统开环幅频特性G j H j 来判断闭环系统的稳定性 Nyquist稳定判据 情况一 开环稳定时 闭环稳定 开环稳定 系统在开环状态稳定的条件 闭环稳定的充要条件是 当 由0变化到 时 1 G j H j 轨迹不包围 1 GH 平面的原点 系统在开环状态稳定的条件 闭环稳定的充要条件是 当 由0变化到 时 开环G j H j 轨迹不包围GH平面的 1 j0 点 在复平面上将1 G j H j 的轨迹向左移动一个单位 便得到G j H j 的轨迹 情况二 开环不稳定时 而闭环稳定要求 设系统开环特征根有p个位于右半s平面 q个位于原点 若系统开环不稳定 且有p个开环特征根位于右半s平面 则闭环系统稳定的充要条件 当 由0变化到 时 开环G j H j 相对 1 j0 点的角变化量为 p q 0 例 已知系统开环传递函数 应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性 当K 1时 系统闭环稳定 当K 1时 系统闭环不稳定 当K 1时 系统临界稳定 0 系统开环不稳定 情况二 开环不稳定时特殊情况 特殊情况 若q 0 若系统开环不稳定 且有p个开环特征根位于右半s平面 则闭环系统稳定的充要条件 当 由0变化到 时 开环G j H j 轨迹逆时针包围GH平面 1 j0 点p 2次 0 而闭环稳定要求 系统在闭环状态下是稳定的 开环状态是不稳定的 m 2 G j H j 轨迹逆时针方向包围 1 j0 点一次 开环稳定G j 轨迹相对 1 j0 点角度变化90o 闭环系统稳定 系统开环不稳定 有1个开环特征根位于原点 则闭环系统稳定的充要条件 当 由0变化到 时 开环G j 相对 1 j0 点的角变化量为90o 绘制G jw 轨迹 课堂练习 P1694 6 1 情况三 开环含有积分环节 开环含有积分环节 原点处存在极点 或者在虚轴上存在极点 用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点 即将这些极点划到左半s平面 乃奎斯特稳定性判据的另一表述 常规方法 1 作出 由0 变化时的Nyquist曲线 2 从G j0 开始 以 为半径逆时针补画v 90 的圆弧 辅助线 由0 0 变化时的轨迹 具有零根的开环G j H j 轨迹 b a 以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和G j H j 轨迹的起始端 对于最小相位系统 其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上 c 单位反馈系统的开环传递函数为 应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性 0 A 0 0 270 Nyquist曲线顺时针包围 1 j0 点半次 而m 1 系统闭环不稳定 已知系统的开环传递函数如下 应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性 系统开环不稳定 m 1 穿越 指开环Nyquist曲线穿过 1 j0 点负实轴时的情况 正穿越 增大时 Nyquist曲线由上而下穿过 1 段实轴 正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围 1 j0 点一圈 负穿越 增大时 Nyquist曲线由下而上穿过 1 段实轴 负穿越相当于Nyquist曲线反向包围 1 j0 点一圈 Nyquist稳定判据穿越法 图例 半次穿越 G j H j 轨迹起始或终止于 1 j0 点以左的负实轴 1 2次穿越 1 2次穿越 当 由0变化到 时 Nyquist曲线在 1 j0 点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m 2时 m为系统开环右极点数 闭环系统稳定 否则 闭环系统不稳定 开环不稳定闭环稳定 开环稳定闭环稳定 开环不稳定m 1 次穿越闭环稳定 Nyquist图与Bode图的对应关系 原点为圆心的单位圆 0分贝线 单位圆以外 L 0的部分 单位圆内部 L 0的部分 负实轴 180 线 相连 v为开环积分环节的数目 起始点 0 Nyquist曲线的辅助线 0 v90 线 对伯德图判断系统稳定性 正穿越 对应于对数相频特曲线当 增大时从下向上穿越 180 线 相角滞后减小 1 j0 点以左实轴的穿越点 L 0范围内的与 180 线的穿越点 负穿越 对应于对数相频特性曲线当 增大时 从上向下穿越 180 线 相角滞后增大 对数频率特性稳定判据 若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根 则当在L 0的所有频率范围内 对数相频特性曲线 含辅助线 与 180 线的正负穿越次数之差等于m 2时 系统闭环稳定 否则 闭环不稳定 开环特征方程有两个右根 m 2正负穿越数之和 1 闭环不稳定 开环特征方程有两个右根 m 2正负穿越数之和 1 闭环稳定 开环特征方程无右根 m 0正负穿越数之和0 闭环稳定 开环特征方程无右根 m 0 L 0范围内 和 线不相交即正负穿越数之和为0 闭环稳定 例 课堂练习 P1694 6 1 相对稳定性和稳定裕量 增益交界频率和相位交界频率 系统的稳定性裕量 4 4稳定性裕量 特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离 稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近 是评价系统稳定性好坏的性能指标 是系统动态设计的重要依据之一 相对稳定性和稳定裕量 注意 虚轴是系统的临界稳定边界 G j H j 轨迹靠近 1 j0 点的程度 GH平面 增益交界频率 cG j H j 轨迹与单位圆交点 相位交界频率 gG j H j 轨迹与负实轴交点 1 稳定系统 2 不稳定系统 增益交界频率和相位交界频率 单位圆外 单位圆内 增益交界频率 cG j H j 轨迹与单位圆交点L j 与0分贝线的交点 c g 稳定系统 相位交界频率 gG j H j 轨迹与负实轴交点 j 与 线的交点 单位圆外 单位圆内 c g 不稳定系统 在增益交界频率 c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量 相位裕量 开环 系统的稳定性裕量 Kg 在增益交界频率 g上 频率特性幅值 G j H j 的倒数 幅值裕量 增益裕度 开环 系统响应速度