2018届高三数学二轮复第三篇多维特色练大题标准练压轴解答题一理.docx

压轴解答题(一) 时间:30分钟 分值:50分1.已知抛物线C:x2=2py(p0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.(1)若ABl,且ABD的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N,证明:直线AN与抛物线相切.2.已知直线y=x+1与函数f(x)=aex+b的图象相切,且f (1)=e.(1)求实数a,b的值;(2)若存在x,使得2mf(x-1)+nf(x)=mx(m0)成立,求的取值范围.3.已知函数f(x)=x2ln x+1-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x1时,f(x)a(x-1)2恒成立,求实数a的取值范围.4.已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线l交椭圆于M,N两点,且|MN|=1.P(-b,0),A为圆O:x2+y2=b2上不同于P的任意一点,过点P作与PA垂直的直线交圆x2+y2=a2于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)试问|BC|2+|CA|2+|AB|2是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.答案精解精析1.解析(1)ABl,|FD|=p,|AB|=2p.SABD=p2,p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)设直线AB的方程为y=kx+,由x2-2kpx-p2=0,x1+x2=2kp,x1x2=-p2,其中A,B.M,N.kAN=.又x2=2py,y=.抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.直线AN与抛物线相切.2.解析(1)设直线y=x+1与函数f(x)=aex+b的图象的切点为(x0,f(x0).由f(x)=aex+b可得f (x)=aex.由题意可得(2)由(1)可知f(x)=ex.存在x,使2mf(x-1)+nf(x)=mx(m0)成立等价于存在x,使2mex-1+nex=mx成立,=,x.设g(x)=,x,则g(x)=,当x(0,1)时,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递增,当x时,g(x)0, g(x)在上单调递减.g(x)max=g(1)=-,又g(0)=-,g=-,g(0)-g=-1时,2xln x0,x-10,所以f (x)0;当0x1时,2xln x0,x-10,所以f (x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2)设g(x)=f(x)-a(x-1)2=x2ln x+1-x-a(x-1)2(x1),则g(x)=2xln x+x-1-2a(x-1),g(x)=2ln x+3-2a.若3-2a0,即a,对一切x1,有g(x)0,所以g(x)在区间1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,所以g(x)在区间1,+)上单调递增,所以g (x)g(1)=0,符合条件.若3-2a,存在x0(1,+)使得g(x0)=0,当x(1,x0)时,g(x)0,所以函数g(x)在区间(1,x0)上单调递减,所以当x(1,x0)时,g(x)g(1)=0,所以函数g(x)在区间(1,x0)上单调递减,故当x(1,x0)时,g(x)g(1)=0,这与题意矛盾.综上,实数a的取值范围为.4.解析(1)假设直线l过椭圆的右焦点(c,0),把x=c代入椭圆方程,得+=1,即y2=b2=,所以|MN|=1.又=,所以a=2b,结合=1,可得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知+=1,+=+=4,P(-1,0),所以|BC|2+|CA|2+|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x1-x0)2+(y1-y0)2=2(+)+2(+)+2(+)-2(x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0)=18-2(x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0).因为PAPB,所以=0,又=(x0+1,y0),=(x1+1,y1),所以(x0+1)(x1+1)+y0y1=0,即x0x1+y0y1=-1-(x0+x1),所以x1x2+y1y2+x1x0+y1y0+x2x0+y2y0=x2(x0+x1)+y2(y0+y1)-1-(x0+x1)=(x0+x1)(x2-1)+y2(y0+y1)-1.当BCx轴时,直线BC与圆O仅有一个交点P,此时A(1,0),|BP|=|CP|=,|AB|=|CA|=,所以|BC|2+|CA|2+|AB|2=(2)2+()2+()2=26.当BC与x轴不垂直时,直线BC与圆O有2个交点,设直线BC交圆O于另一点A,由APAP,知AA为圆O的直径,所以A(-x0,-y0).由线段AP的中点与BC的中点重合,可知x1+x2=-x0-1,y1+y2=-y0,即x1+x0=-1-x2,y1+y0=-y2,所以x1x2+y1y2+x1x0+y1y0