第三章柯西积分.doc

第三章 柯西积分（25）一、内容摘要1. 复变积分的概念及其简单的性质。复变积分的定义：与普通实变函数积分相似，设是复平面上点到点的一条光滑(或分段光滑)曲线, 复变函数在上连续。把曲线任意分为个弧段:,在每个弧段上任意取一点求和: ，当时,即每个弧段长趋于0时,若和的极限存在,则称此极限为函数在上的积分,记作:. 将式,得.复积分的基本性质：(1) 若分为段，则.即全路径的积分等于各段路径上积分之和。(2) ，即几个函数和的积分等于各个函数积分的和。(3).(4).其中曲线与的走向相反。(5).其中，是积分曲线的弧元。(6),其中是在积分曲线上取值的上界,即,是积分曲线的线长。2. 柯西积分定理及其推广单连通区域的柯西定理：若函数在单连通区域内解析,则沿内任何一条分段光滑的闭合围道(可以是区域的边界)的积分，即.复连通区域的柯西积分: 若是复连通区域内的单值解析函数,则. 上式中,所有的积分围道的走向都是逆时针(或都是顺时针)的。其中的是构成复连通区域的边界的各个分段光滑的闭合曲线,包含在的内部，并且所有的积分路径走向相同。不定积分或原函数：在区域内满足的函数称为在区域内的一个不定积分或原函数。3. 柯西积分公式及其推广Cauchy积分公式：设在有界区域上单值解析, 的边界是分段光滑曲线,为内任意一点,则，通常写为。定理: 如果在有界区域上单值解析, 则在内的任意阶导数都存在,且或.二、习题1. 填空题（1）=_,（2）=_,为包围圆周的任意简单闭合曲线。（3）=_,其中：为正向，：为负向。（4）=_,=_,其中的积分围道是圆:. （5）=_. 2分别沿与算出积分的值。3沿指定曲线的正向计算下列各积分：（1）. （2）.（3）. （4）.（5）. （6）. （7）. （8） . 4. 计算下列积分：（1）。（2）。（3）。5. 设在区域内解析，为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在内,但不在上的任意一点，等式：成立。6. 利用积分估值定理，证明：（1）,积分路径是直线段。（2）,积分路径是联到的右半圆周。（3）证明，积分路径是直线段。7. 计算.8. 由积分之值证明： ，其中取单位圆周。9. 设表示圆周，求.10. 设在内解析，试证明对任何，都有.三、参考答案1. 填空题 （1）0 . （2）. （3）0 . （4）,. （5）.2解：沿，沿，.3. 解：（1）用柯西积分公式可得.（2）用柯西积分公式可得：.（3）令，则在内解析，由柯西积分公式可得，.（4）利用单连通区域的柯西定理可得，.（5）由单连通区域的柯西定理可知，函数在区域内解析，则该积分为0.（6）令,则在区域内解析，又因为 ，所以可得.（7）由柯西积分公式可得：.（8）令，则在内解析，由高阶导数公式可得，.4. 解：（1）有两个奇点和2, 做两个小圆把它包围起来,由复连通区域柯西定理可得.（2）有两个奇点和-, 做两个小圆把它包围起来，由复连通区域柯西定理可得.（3）因为在的内部，由柯西积分公式可得5. 解：分两种情况：（1）若在的外部，则及在内解析，由单连通区域的柯西定理有.（2）若在的外部，在内解析的函数，其导函数也是内的解析函数，由柯西积分公式可得，.由高阶导数公式可得，.所以，.综上，对在内但不在上的任意一点，.6.证明：（1）在到的直线段上，而此直线段的长度为2，所以，证毕。（2）设积分路径的参数方程为，即，从而沿积分路径被积函数的模有一下估计，积分路径的长度为，所以，证毕。（3）设积分路径的参数方程为，沿此积分路径有如下估计 ，所以，证毕。7. 解：（1）. （2）.（3）. （4）.8. 证明： 于是 ， 又由 ， 所以，证