几何探究题.doc

几何探究题（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点如图1，求证：；探究：如图1， ；如图2， ；如图3， （2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边的延长相交于点猜想：如图4， （用含的式子表示）；根据图4证明你的猜想（1）证法一：与均为等边三角形，2分且3分，即4分5分证法二：与均为等边三角形，2分且3分可由绕着点按顺时针方向旋转得到4分5分，8分（每空1分）（2）10分证法一：依题意，知和都是正边形的内角，即11分12分，13分，14分证法二：同上可证 12分，如图，延长交于，13分14分证法三：同上可证 12分，13分即14分证法四：同上可证 12分如图，连接，13分即14分注意：此题还有其它证法，可相应评分请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【解析】 线段与的位置关系是；2分 猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， DCGPABEFH由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即，6分 8分如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.（第25题图）（备用图）（1）解法一：如图25-1过A作AECD，垂足为E . 依题意，DE=. 2分 在RtADE中，AD=. 5分图25-1 解法二：如图25-2 过点A作AEBC交CD于点E，则CE=AB=4 . 2分 AED=C=60. 又D=C=60， AED是等边三角形 . AD=DE=94=5 . 5分 （2）解：如图25-1图25-2CP=x，h为PD边上的高,依题意，PDQ的面积S可表示为：S=PDh 6分=(9x)xsin60=(9xx2) =(x)2. 8分由题意，知0x5 . 9分当x=时（满足0x5），S最大值=. 10分 （3）证法一：如图25-3假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QMDC，交BC于M，点M即为所求.连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .图25-3 易证MCPQDP，D=3 . MP=PD MPQD , 四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , 四边形PDQM是菱形 . 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5=. 14分 注 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，PDQ恰为等边三角形 . 过点D作DOPQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ， MP=MQ . 易知1=C . PQBC . 又DOPQ， MCMD图25-4 MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM 四边形PDQM是菱形 13分所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5= 14分已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论答：对图（2）的探究结论为_ 对图（3）的探究结论为_证明：如图（2）结论均是PA2PC2PB2PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MNAD于点M，交BC于点N，因为ADBC，MNAD，所以MNBC在RtAMP中，PA2PM2MA2在RtBNP中，PB2PN2BN2在RtDMP中，PD2DM2PM2在RtCNP中，PC2PN2NC2 所以PA2PC2PM2MA2PN2NC2 PB2PD2PM2DM2BN2PN2因为MNAD，MNNC，DCBC，所以四边形MNCD是矩形所以MDNC，同理AM BN，所以PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2即PA2PC2PB2PD2如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（第22题）（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由解：（1）；（2）在中，设点的坐标为，其中，顶点，设抛物线解析式为如图，当时，解得（舍去）；解得抛物线的解析式为如图，当时，解得（舍去）当时，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是（3）存在点，使得四边形的周长最小如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点，又，此时四边形的周长最小值是如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值(1) 2分仍然成立 1分在图（2）中证明如下四边形、四边形都是正方形 ， 1分 （SAS）1分 又 1分（2）成立，不成立 2分简要说明如下四边形、四边形都是矩形，且，(，) ， 1分又 1分（3） 又， 1分 1分正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DFCF如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E。 求证：DFEF； 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；ODCBA图3P若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）图2ODCBAEFPFP(O)DCBA图1 略；PCPACE；结论仍成立；结论不成立，此时中三条线段的数量关系是PAPCCE；将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点的运动时间为（秒）（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图2问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由图1OPAxBDCQy（第24题图）图2OPAxBCQyE解：（1），图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQy图3OFAxBCyEQP（2）当时，过点作，交于，如图1，则，（3）能与平行若，如图2，则，即，而，不能与垂直若，延长交于，如图3，则又，而，不存在ABDC图 1（1）探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： xOyNM图 2EFxN 如图2，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F 试证明：MNEF xOyDM图 3N 若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行（1）证明：分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，则CGADHB901分 CGDH ABC与ABD的面积相等， CGDH 2分 xOyNM图 2EF