二次函数的应用.doc

类型一：根据二次函数图像与性质判断代数式的符号：常考知识点：a的正负决定开口方向；a的大小决定开口的宽度；c是抛物线与y轴交点的纵坐标；顶点坐标，对称轴与不等式的变换；x的取值范围与图像的增减性关系；不同的x取值所得的代数式的取值范围（尤其是x取1时所得代数式的值）。例1、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例2、如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴 为 x1给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（） A B C D 例3：二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，且P=a-b+c+12a+b，Q=a+b+c+2a-b，则P、Q的大小关系是 类型二：利润与二次函数解题思路：根据题意列函数关系式（可与之前学过的列方程解应用题结合起来）求自变量取值范围求最大值或最小值（一定要在自变量的取值范围内）例1、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数。（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）。类型三：桥拱及类似问题与二次函数（建立合适平面直角坐标系、转化思想、建立合适的函数表达式、与x轴交点、顶点坐标、轴对称、最值）例1、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)(1)、求这个二次函数的解析式； （2）、该男同学把铅球推出去多远 (精确到0.01米，) 例2、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体运动（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图，（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。 Y B A x C类型四：周长、面积与二次函数（常用知识点：面积周长公式、三角形相似、勾股定理、方程思想、切割法求面积等）例1、 类型五：二次函数与一次函数：基本思路：建立二次函数、一次函数模型，然后利用一次函数二次函数的性质、不等式等解决问题，在解题过程中往往会用到分类讨论、数形结合等思想。（一）确定函数解析式、求最值：例1、已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是3.（1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，（）求的取值范围；（）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.例2、如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内相交于点，若的面积为，求二次函数的解析式.类型六：二次函数与不等式：解题思路：利用二次函数、一次函数的图像，找出它们的交点，（1）根据图像确定函数值大或者小时自变量的取值范围，（2）或结合函数关系式，给出自变量的一个增量，研究函数值的变化情况，将两个函数值做差，比较差得符号，前者是几何解法，后者是代数解法。例1、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1,0），B（3）（1）求m的值和抛物线的解析式； y（2）求不等式x2+bx+cx+m不等式的解集（直接写出答案）B A x O 类型七：二次函数与一元二次方程：解题思路：设二次函数值为0，通过根的判别式与0的大小关系找出抛物线与x轴交点的个数： 1 0，与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）； 2 =0，与x轴只有一个交点（，0）； 3 0，与x轴没有交点。例1、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根（2）写出不等式的解集 （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 类型八：二次函数与三角形(1) 二次函数与三角形面积 常用知识点：找出合适的底边和高线、两点间的距离公式、方程思想、分类讨论思想切割法 求面积。例1：如图，已知在同一坐标系中，直线与y轴交于点P，抛物线与x轴交于两点。C是抛物线的顶点。（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；（2）若点A在点B的左侧，且。当k取何值时，直线通过点B；是否存在实数k，使？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存 在，请说明理由。例2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求m的取值范围；（2）若，直线经过点A，与y轴交于点D，且，求抛物线 的解析式；（3） 若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直 线PA平分的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。(2) 二次函数与三角形形状 解题思路：求角度数关系、边与边之间的关系 常用知识点：两点之间的距离公式、勾股定理、等腰三角形、等边三角形的判定等。例1、如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上， 点在轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形 若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由ACByx01例2、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数 的图象记为抛物线（1） 平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函 数表达式： （任写一个即可）（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图，求抛物线的 函数表达式（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点若，求点的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形 若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由图11图11图11(3) 二次函数与三角形相似 常用知识点：三角形相似的判定与性质、射影定理、两点之间的距离公式等。例1、 已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，（1）求出A、C两点的坐标；（2）在x轴上找出点B，使，若抛物线过A、B、C三点，求出此抛物线 的解析式；（3） 在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA 向C、A运动，连结PQ，使，是否存在m的值，使以A、P、Q为顶点的三 角形与相似，若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。例2.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点（1）求线段的长（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最 大，最大面积是多少？（3） 如图8，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求 出的长，并验证等式是否成立图7图8图9（4）如图9，在中，垂足为，设，试说明：类型九：二次函数与四边形（1） 二次函数与四边形面积例1、如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐 标为（6，4） （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点 M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S 与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若 存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此 时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 例2、如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴 上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段 BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0 (1) 求A、B、C三点的坐标； (2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m 的取值范围； (3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M 不在抛物线P上，求k的取值范围.（2） 二次函数与四边形形状 例1、如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关 于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动 到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3） 在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存， 求出点的坐标；若不存在，说明理由1234554321例2、如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线 交于A、C两点，其中C点的横坐标为2 （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F坐标；如果不 存在，请说明理由例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C,0，-1）三点： （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行 四边形，求所有满足条件的点P的坐标。 y A O B x C 例4、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0），B（0，-4），C（2,0）三 点： （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积是s， 求s关于m的函数关系式，并求s的最大值； （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以 点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。 y x A O C M B 例5、如图把抛物线y=-x2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线 L1，抛物线l2与抛物线L1关于y轴对称，点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交 点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E： （1）分别写出抛物线l1与l2的解析式； （2）设P点是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称 点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？并说明你的理由。 （3）在抛物线l1是否存在点M，使得三角形ABM的面积等于四边形AOED的面积，如果 存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由。 y C E D B O A x L2 l2 类型十：分段函数：分段函数分段点，左右运算要分行定义：分段函数就是在一个定义区间上满足对应的一个函数，在另一个区间上满足另一个函数。即对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。例1、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：(1)讲课开始后第5分钟，与讲课开始后第25分钟相比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力是集中？能持续多少时间？(3)一道数学难题，估计需要讲解22至24分钟时间，为了达到一定的教学效果，要求学生的注意力指数不低于180。经过适当安排，老师能否在学生注意力指数达到所需要状态下讲解完这道题目？例2、容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示（1）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；（2） 求出图（2）中抛物线段c的函数关系式。 类型十一：其他问题与二次函数：例1、如图，大拇指与小拇指尽量