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对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究 联丰中学 王培良 315000在一次偶然的机会，我去上海听了这么一节课，但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题， 并作了一些思考，具体如下：问题1：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。方法一（一般解法）：数形结合 将函数f(x)=|x-1|+|x-2|化为： 然后作图，由图易知，f(x)的最小值为1。方法二：几何法（1）在数轴上取点A(1，0)和点B(2，0)；（2）在数轴上取动点P(x，0)；即|PA|+|PB|的最小值为所求。则f(x)1（当且仅当1x2时，取“=”号）。方法三：代数法问题2：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。也有类似的三种解法 其中方法三：代数法类比推广问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。方法二： 由画数轴可知：|x-10|0，|x-9|+|x-11|2， |x-1|+|x-19|18，当且仅当x=10时，它们的和最小。即f(x)0+2+4+18=90。方法三（代数法）经过尝试发现也是可以的再推广问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-n|的最小值。(1)当n=2k-1(kR)时，|x-k|0，|x-(k-1)|+|x-(k+1)|2， |x-1|+|x-(2k-1)|2k-2，当且仅当x=k时，它们的和最小，即f(x)0+2+4+(2k-2)(2)当n=2k(kR)时，|x-k|+|x-(k+1)|1，|x-(k-1)|+|x-(k+2)|3， |x-1|+|x-2k|2k-1，当且仅当xk，k+1时，它们的和最小，即f(x)1+3+5+(2k-1)若用前面的方法三代数法 ： 若n=2k-1(kR)时，=当n=2k(kR)时，=结论这个方法也是适合的但是对于这个结论的普遍性在听课的过程中我一直存在的疑惑，感觉这个方法是不等价转化的。我首先试着用 和的形式去研究这种方法 的可行性 试探1：求函数的最小值正解： 将函数f(x)=2|x-1|+|x-2|化为： 然后作图，由图易知当x=1时，f(x)的最小值为1。试解1：（代数法）要使值最小试解2：要使的值最小 。从以上两个试解发现这种方法是不行的，但是却发现通过这个方式得到的值都是大于实际最小值的。而试解1中的 顶点（） 和试解2中的 顶点（） 这两个顶点都是在y=1的下方作出三个函数 ， 的图像，感觉二次函数是折线的两个近似抛物光滑曲线。反思：突然想到“问题1：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。” 为什么用方法三代数法可行？带着这个疑问，我试着也作出了的图像与f(x)的图像进行了比较，f(x)的图像当时是平行于x轴的一条线段，函数值总是为最小值1， 而的顶点横坐标恰好落在1, 2上。对于问题2：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，也作出图像易知当x=2时 f(x)的最小值是2相应参考的二次函数的顶点恰好在x=2处。 对于后面问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。 也类似的可以得到结论：当x=10时，f(x)的最小值是90。 不难发现，对于 其中数列是个等差数列，都可以用代数法解决， 当时为最小值由于得到图像的启示，对于函数，数列是否一定是等差数列呢，不然。我想到如下例子 试探2 ：求函数 的最小值用常规分段函数易解得到：当时，的最小值为6用代数法解：可以考虑相应函数即。 当x=3时f(x)的最小值为6其实不难得到; 对于 （） 只要各个点 关于直线对称的时候，的最小值就是（即）对于 （）如果各个点没有上面的对称性，那可不可以用该方法解吗？ 试探3：求函数 的最小值易知道当时取到最小值为15用代数法解：可以考虑相应函数即，则当时 的最小值为15。代数法是可行的。试探4: 求函数 的最小值易解：当时，f(x)取到最小值为11用代数法：可以考虑相应函数即，当时，f(x)的最小值为。代数法不可行试探5: 求函数 的最小值易知道当时，的最小值为15用代数法解：可以考虑相应函数则认为的最小值为 代数法不可行结论：从试探3，试探4试探5可发现，对于 （）1)如果n为偶数时，的算术平均数满足，那么这种代数法可适用的2）如果n为奇数时，除非的算术平均数恰好为中间一个，即可以，否则这种代数法一般是不可行的。下面证明该结论：1）n 为偶数时， . 当且仅当时， 各式取等号，它们的和最小 而用代数法时，x取时最小，此时满足，则它们的和最小 2