第一章 函数与极限 第十节 闭区间上连续函数的性质.ppt_第1页
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,第十节,一、最值定理,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证明略 ),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续 , 且恒为正 ,例2.设,在,对任意的,必存在一点,使,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,证: 利用介值定理的推论证明.,由于,在 上连续 , 所以 在 也连续 .,由连续函数的性质，函数在 上有最大值和最小值，分别记为M和m.,最后显然数C介于M和m之间（自己想清楚），由介值定理的推论得结论.,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当
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