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实变函数论课后答案第三章1第三章第一节习题1.证明：若有界，则.证明：若有界，则存在一个开区间.（充分大）使.故.2.证明任何可数点集的外测度都是零.证：设是中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故.3.证明对于一维空间中任何外测度大于零的有界集合及任意常数，只要，就有，使.证明：因为有界，设（有限），令，则.考虑，不妨设，则由.可知.对，类似得到.故总有.这说明在上连续，由中介值定理知 ，使得.令，则.若，则取.若，取.证毕.4.证明如果是上的连续函数，则中的点集的外测度为零.证明：，将等分，即取分点，.因为在有界闭区间连续，从而一致连续，故，使当时.所以存在，使时.令.则均为开区间，且.事实上，从而.故即而由的任意性，则.若无界。令为无界闭区间，且.令，.5.对于中的点集，令.证明： .证明：由第二章的习题11，若为开集， ，则仍为开集，易知，若 为开区间，则仍为开区间，且.事实上，设.下面我们证明： （1）若（1）成立，则将得证.故结合（1），我们就有.下面证明（1）（1） 若，则（1）显然成立.（2） 若开区间，使得.显然，从而有令得. （1）证毕.6.证明只要，就一定有，使得对任意，都有，此处是以为中心，以为半径的开球.证明：反证 设结论不对，则，使得，则成为的一个开覆盖，由Lindelorf定理习题5，一定存在至多可数个使得.故 得矛盾，故结论成立.7.试就二维空间证明外测度在旋转变换下也是不变的（提示：先证任何长方形的外测度都等于其面积）.证明：因为旋转变换是正交变换，它不改变长度和两线段的夹角，故它将长为，宽为的长方形仍变为长为，宽为的长方形。如果能证明任何长方形（边不一定平行于坐标轴）的外测度都为该长方形的面积，则开区间，使得，.任意一个旋转变换正交，这里，.另一方面，正交，也正交，得证.故关键是证明：任何长方形的外测度都等于其面积.下证上的长方形的外测度等于其面积.证明：已知，任何区间（边平行于坐标平面的外测度等于，在中，边平行于坐标轴的长方形（区间）的外测度等于其面积）现设为上任一长方形，设其长为，宽为，面积，充分小，可作边平行于的边的两开长方形，的长为，宽为，的长为，宽为，且，取充分大，使，则可用边长为，边平行于坐标轴的半开半闭的，形如：的区间表示成互不相交的并，且且若，则，否则存在，故得矛盾.存在个边长为，边平行于坐标轴的区间，互不相交，同理存在个边长为，边平行于坐标轴的区间，使互不相交.分别记表示的面积，表示可求面积的平面图形的面积，则令，得 故旋转变化下，长方形的外测度不变等于其面积.设则的面积.故任一长方形，设其长为，宽为，则存在一个平移和
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