九年级数学下册第2章二次函数2.3二次函数的应用2.3.1把握变量之间的依赖关系教学课件湘教版.pptx

2 3二次函数的应用2 3 1把握变量之间的依赖关系 的图象 并能够比较它们与二次函数 1 能作出二次函数 和 与 对二次函数图象的影响 的图象的异同 理解 1 二次函数y 2 x 3 2 5的对称轴是x 3 顶点坐标是 3 5 当x 3时 y的最小值是5 2 二次函数y 3 x 4 2 1的对称轴是x 4 顶点坐标是 4 1 当x 4时 函数有最大值 是 1 3 二次函数y 2x2 8x 9的对称轴是x 2 顶点坐标是 2 1 当x 2时 函数有最小值 是1 问题 用总长为60m的篱笆围成矩形场地 矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化 当l是多少时 场地的面积S最大 分析 先写出S与l的函数关系式 再求出使S最大的l的值 矩形场地的周长是60m 一边长为l 则另一边长为场地的面积 S l 30 l 即S l2 30l 请同学们画出此函数的图象 可以看出 这个函数的图象是一条抛物线的一部分 这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点 也就是说 当l取顶点的横坐标时 这个函数有最大值 即l 15m时 场地的面积S最大 S 225 O 图中是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2m 水面宽4m 水面下降1m时 水面宽度增加了多少 我们来比较一下 0 0 4 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 4 0 0 0 2 2 谁最合适 解法一 以抛物线的顶点为原点 以抛物线的对称轴为y轴 建立平面直角坐标系 如图所示 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y ax2 当拱桥离水面2m时 水面宽4m 即抛物线过点 2 2 这条抛物线所表示的二次函数为 当水面下降1m时 水面的纵坐标为y 3 这时有 当水面下降1m时 水面宽度增加了 如图所示 以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴 以抛物线的对称轴为y轴 建立平面直角坐标系 解法二 当拱桥离水面2m时 水面宽4m 即 抛物线过点 2 0 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 此时 抛物线的顶点为 0 2 这条抛物线所表示的二次函数为 当水面下降1m时 水面的纵坐标为y 1 这时有 当水面下降1m时 水面宽度增加了 如图所示 以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴 其中的一个交点 如左边的点 为原点 建立平面直角坐标系 解法三 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 抛物线过点 0 0 此时 抛物线的顶点为 2 2 这条抛物线所表示的二次函数为 当水面下降1m时 水面的纵坐标为y 1 这时有 当水面下降1m时 水面宽度增加了 这时水面的宽度为 1 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物 大门底部宽AB 4m 顶部C离地面的高度为4 4m 现有载满货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 7m 装货宽度为2 4m 这辆汽车能否顺利通过大门 若能 请你通过计算加以说明 若不能 请简要说明理由 跟踪训练 解 如图 以AB所在的直线为x轴 以AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 AB 4 A 2 0 B 2 0 OC 4 4 C 0 4 4 设抛物线所表示的二次函数为 抛物线过A 2 0 抛物线所表示的二次函数为 汽车能顺利经过大门 规律方法 一般地 因为抛物线y ax2 bx c的顶点是最低 高 点 所以当时 二次函数y ax2 bx c有最小 大 值 某商品现在的售价为每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 如调整价格 每涨价1元 每星期少卖出10件 每降价1元 每星期可多卖出20件 已知该商品的进价为每件40元 如何定价才能使利润最大 探究 请同学们带着以下几个问题读题 1 题目中有几种调整价格的方法 2 题目涉及到哪些变量 哪一个量是自变量 哪些量随之发生了变化 某商品现在的售价为每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 每涨价1元 每星期少卖出10件 每降价1元 每星期可多卖出20件 已知商品的进价为每件40元 如何定价才能使利润最大 分析 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况 设每件涨价x元 则每星期售出商品的利润y也随之变化 我们先来确定y与x的函数关系式 涨价x元时则每星期少卖件 实际卖出件 每件利润为元 因此 所得利润为元 10 x 300 10 x 60 x 40 60 x 40 300 10 x y 60 x 40 300 10 x 0 x 30 即y 10 x 5 2 6250 当x 5时 y最大值 6250 怎样确定x的取值范围 可以看出 这个函数的图象是一条抛物线的一部分 这条抛物线的顶点是函数图象的最高点 也就是说当x取顶点坐标的横坐标时 这个函数有最大值 由公式可以求出顶点的横坐标 所以 当定价为65元时 利润最大 最大利润为6250元 也可以这样求最值 在降价的情况下 最大利润是多少 请你参考 1 的过程得出答案 2 设降价x元时利润最大 则每星期可多卖20 x件 实际卖出 300 20 x 件 每件利润为 60 40 x 元 因此 得利润 y 300 20 x 60 40 x 20 x 5x 6 25 6 25 6000 20 x 2 5 2 6125 x 2 5时 y最大值 6125 你能回答了吧 怎样确定x的取值范围 0 x 20 由 1 2 的讨论及现在的销售情况 你知道应该如何定价能使利润最大了吗 1 列出二次函数的解析式 并根据自变量的实际意义 确定自变量的取值范围 2 在自变量的取值范围内 运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 规律方法 C O A B x y P 1 如图 二次函数y x2 4x 3的图象交x轴于A B两点 交y轴于点C 设抛物线的顶点为P 求 ABC COB和四边形CAPB的面积 跟踪训练 x y C O A B P 解 y x2 4x 3 x 2 2 1 顶点坐标是 2 1 y x2 4x 3 0时 x1 1 x2 3 A 1 0 B 3 0 二次函数y x2 4x 3与y轴的交点是C 0 3 AB 3 1 2 OB 3 0 3 ABC的高 3 3 ABP的高 1 1 S ABC 2 3 2 3 S COB 3 3 2 4 5 S ABP 2 1 2 1 S四边形CAPB S ABC S ABP 3 1 4 x y o 2 4 3 A B C 2 如图 二次函数的图象经过A B C三点 1 求这个二次函数的解析式 2 抛物线上是否存在一点P P不与C重合 使 PAB的面积等于 ABC的面积 如果存在求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 x y 2 0 4 3 A B C 解 1 抛物线与x轴交于A 2 0 B 4 0 两点 设抛物线的解析式为y a x x1 x x2 a x 2 x 4 抛物线过点C 0 3 3 a 0 2 0 4 得a y x 2 x 4 x2 x 3 2 存在一点P 使 PAB的面积等于 ABC的面积设点P的坐标为 x0 y0 S ABC 4 2 3 2 9 S ABP 4 2 y0 2 9 y0 3 即y0 3 当y0 3时 x2 x 3 3 解得 当y0 3时 解得x1 0 舍 x2 2 符合条件的P有三个 即 2 3 x2 x 3 3 答案 B 1 定西 中考 向空中发射一枚炮弹 经x秒后的高度为y米 且时间与高度的关系为y ax2 bx c a 0 若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等 则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 A 第8秒B 第10秒C 第12秒D 第15秒 2 兰州 中考 如图 小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子 给小明做了一个简易的秋千 拴绳子的地方距地面高都是2 5米 绳子自然下垂呈抛物线状 身高1米的小明距较近的那棵树0 5米时 头部刚好接触到绳子 则绳子的最低点距地面的距离为米 答案 3 青海 中考 某水果批发商场经销一种水果 如果每千克盈利5元 每天可售出200千克 经市场调查发现 在进价不变的情况下 若每千克涨价1元 销售量将减少10千克 1 现该商场要保证每天盈利1500元 同时又要顾客得到实惠 那么每千克应涨价多少元 2 若该商场单纯从经济利益角度考虑 这种水果每千克涨价多少元 能使商场获利最多 解析 1 设每千克应涨价x元 列方程得 5 x 200 10 x 1500 解得 x1 10 x2 5 因为顾客要得到实惠 5 10所以x 5 答 每千克应涨价5元 2 设商场每天获得的利润为y元 则根据题意 得y x 5 200 10 x 10 x2 150 x 1000 当x 时 y有最大值 因此 这种水果每千克涨价7 5元时 能使商场获利最多 4 德州 中考 为迎接第四届世界太阳城大会 德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯 已知太阳能路灯售价为5000元 个 目前两个商家有此产品 甲商家用如下方法促销 若购买路灯不超过100个 按原价付款 若一次购买100个以上 且购买的个数每增加一个 其价格减少10元 但太阳能路灯的售价不得低于3500元 个 乙店一律按原价的80 销售 现购买太阳能路灯x个 如果全部在甲商家购买 则所需金额为y1元 如果全部在乙商家购买 则所需金额为y2元 1 分别求出y1 y2与x之间的函数关系式 2 若市政府投资140万元 最多能购买多少个太阳能路灯 当x 100时 因为购买个数每增加一个 其价格减少10元但售价不得低于3500元 个 所以x 即100 x 250时 购买一个需5000 10 x 100 元 故y1 6000 x 10 x2 解析 1 由题意可知 当x 100时 购买一个需5000元 故y1 5000 x 当x 250时 购买一个需3500元 故y1 3500 x 2 当0 x 100时 y1 5000 x 500000 1400000 当100 x 250时 y1 6000 x 10 x2 10 x 300 2 900000 1400000 故选择甲商家 最多能购买400个路灯 5 荆门 中考 某商店经营一种小商品 进价为2 5元 据市场调查 销售单价是13 5元时平均每天销售量是500件 而销售单价每降低1元 平均每天就可以多售出100件 1 假设每件商品降低x元 商店每天销售这种小商品的利润是y元 请你写出y与x之间的函数关系式 并注明x的取值范围 2 每件小商品销售价是多少元时 商店每天销售这种小商品的利润最大 最大利润是多少 注 销售利润 销售收入 购进成本 解析 1 降低x元后 所销售的件数是 500 100 x y 100 x2 600 x 5500 0 x 11 2 y 100 x2 600 x 5500 0 x 11 配方得y 100