线性代数练习题答案(18周版)

等同于求 的代数余子式,一、选择题,1. ,则|A|中x的一次项系数是( ).,A.1,B.1,C.22,D.22,习题一,D,2.设 是六阶行列式|aij|中的一项,则( ).,A.k=2,l=5,取正号,B.k=5,l=1,取负号,C.k=1,l=5,取负号,D.k=5,l=1,取正号,k,l只能在1, 5中取值,若k=5,l=1，,B,3. 若 ,则a= ( ).,A.,B.,C.1,D.1,B,=2a,计算,有多种方法,按公式,按定义,按多零行展开,化为三角行列式,4. 已知x的一次多项式 ，则该 多项式的根是( ).,A.0,B.1,C.2,D.3,D,5. 设 , 则 ( ).,A.10d,B.15d,C.10d,D.15d,A,第一列乘加到第二列，乘加到第三列,6. 设 则f(x) =0的根是( ).,A.1,1,2,2,B.1,1,2,2,C.1,1,2,2,D.1,1,2,2,C,7. 设n阶行列式,A.1,B.,C.(1)n1,D.(1)n2,则|A|= ( ).,不断按第一行展开,用行列式定义计算|A|,法一：,阶,法二：,对n取特殊值，用排除法,法三：,8.下列行列式恒等于零的是( ),A.,B.,C.,D.,C,法一：按多零的行展开判断,8.下列行列式恒等于零的是( ),A.,B.,C.,D.,有一项,第一列取 ，第二列必取0,有两项,C,法二：按行列式定义,思考： 的值,的值有 什么关系吗？,与,（课本17页例7 ）,我们学过的结论,8.下列行列式恒等于零的是( ),A.,B.,C.,D.,有一项,法三：用以上结论,C,9.设 有唯一解，则 =( ).,A.1,B.1,C. 0,D.异于0和 的实数,D,列等和,10.齐次线性方程组 有非零解，则 =( ).,A.0,B.1,C.2,D.3,C,11. 行列式 中含有x3 项的系数是( ).,A.2,B.2,C.1,D.1,(1)取2x,，再取两个x,，则最后只能取x,2x4,对第一行,(2)取x,，再取两个x,，则最后只能取1,x3,符号为负,(3)取1,，只剩两个x,(4)取2,，只剩两个x,D,二、解答题,1.分别按第一行与第二列展开计算行列式,2.设 ，,试问|A|与|B|是否相等？,|B|=2|A|,3.已知152,209,399都是19的倍数，证明：,也是19的倍数。,第一列乘100，第二列乘10 ，加到第三列,4.计算行列式,5.计算n阶行列式,行等和,行列式中大部分元素均为3，将第三行的1倍加到其余各行。,6.当 为何值时，线性方程组 有唯一解？并求其解。,有唯一解,6.当 为何值时，线性方程组 有唯一解？并求其解。,2.设A、B都是n阶矩阵，且AB=O, 则下列一定成立的是( ),一、单项选择题,（A）ABC （B）ACTBT （C）CBA （D）CTBTAT,1.若则下列矩阵运算的结果为32的矩阵的是（ ）,（A）|A|=0或|B|=0 （B）|A|=0且|B|=0 （C）A=O或B=O （D）A=O且B=O,AB=O,|AB|=|O|,D,A,=0,习题二,（A）若 ，则,3.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有( ) （A）A=B （B） A=B （C）|A|=|B| （D） |A|2=|B|2,A2=B2,|A2|=|B2|,|A|2=|B|2,4.设A,B,C均为n阶矩阵，下列命题正确的是（ ）,D,（B）若 ，则 或,（C）若 ，且 ，则,（D）若 ，则,注意矩阵乘法不满足交换律、消去律,D,5.已知A，B均为n阶方阵，下列结论正确的是（ ）,AO且BO,AO,（D） AE,|A|1,（A） ABO,（B） |A|0,（C） |AB|0,|A|0或|B|0,C,（D）,（A）,（B）,成立,不成立,不成立,成立,成立,不成立,（C）|AB|0,|A|0或|B|0,|A|B|0,6.设A，C为n阶方阵， B为n阶对称方阵，则下列是对称阵的是（ ）,C,7.设|A|0，则下列正确的是（ ） （A）(2A) T=2A （B）(A T ) 1= (A1) T （C）(2A) 1 = 2A1 （D）|A1|=|A|,B,8.若n阶方阵A可逆，则 （ ）,（A）A,（B）|A|A,（C） （D）,C,（A）AT （B）CACT （C）AAT （D）(AAT)B,9.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正 确的是() （A）,（B）,（C）,（D）,B,（A）AB1=B1A （B）B1A=A1B （C）A1B1=B1A1 （D）A1B=BA1,10.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是( ),B,法二：特别地取B=E,法一：只有B选项不满足交换律,11. ，A*为A的伴随矩阵，则|A*|（ ）,（A）3 （B）,（C）9 （D）27,|A*|= |A|n1,C,12.设A，B均为n阶方阵，则必有（ ）,（A）A或B可逆，则AB可逆（B）A或B不可逆，则AB不可逆（C）A与B可逆，则A+B可逆（D）A与B不可逆，则A+B不可逆,B,或,？,（A）,（B）,或,？,（C）反例,（D）反例,13.设n阶矩阵A,B,C满足 AB C=E，则C1=（ ） （A）AB （B）BA （C）A1B1 （D）B1A1,A,( ),14.设n阶可逆矩阵A,B,C满足ABC=E，则B1=（ ） （A） A1C1 （B） C1A1 （C） AC （D）CA,D,15.设 ，其中A1，A2都是方阵，且 |A|0，则（ ）,（A）A1可逆，A2不可逆 （B）A2可逆，A1不可逆（C）A1，A2都可逆 （D）A1，A2都不可逆,C,二、填空题,1.设 ，则AB= BA=,2.已知 则 =,=,，,.,；,.,6.若4阶方阵A的行列式| A|=3，则,5.设A,B为三阶矩阵, |A|=3,|B|=2，则 .,4. ，且 ，则,3.当k 时，矩阵 可逆。,= .,.,7. A为三阶矩阵，且 | A|= ，则|(3A)12A*|=,.,10.设A,B,C均为n阶方阵，B可逆，则 的解 为,9.设A,B,C均可逆，且逆矩阵分别为 ，则,8.设 ，则(A*)1,.,.,.,三、计算题,1. 设A，B均为n阶方阵，E+AB可逆，化简 (E+BA) EB(E+AB) 1A.,2.已知 满足,(2EA1B)CTA1，求矩阵C.,A(2EA1B)CTAA1,(2EA1B)CTA1,3. 若 , 求2A +(BAT ) T.,4.设矩阵 ，且 ，,求矩阵 .,也可先求出 ，再计算,5.设 ，若 ，求k的值。,( ),1.设A，B均为n阶方阵，且 ，证明 的充要条件是 .,四、证明题,若,，则,( ),若,，则,2. n阶方阵A满足 ，证明 可逆， 并求 .,注：求矩阵A的逆阵的方法3：未给出A的具体元素，仅给出A满足的某些条件（常为矩阵等式）,把题设中的矩阵等式化为A与另一矩阵乘积等于E的等式，则另一矩阵为所求。,3. A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明： (A1+B1) 1=B(A+B) 1A,(A1+B1) B(A+B) 1A,=(A1B+E) (A+B) 1A,=(A1B+ A1A) (A+B) 1A,=A1 (B+A) (A+B) 1A,=A1 (A+B) (A+B) 1A,=A1 A,=E,注：要证明A1=B，只需验证求矩阵AB=E.,1.设A为 矩阵，则Ax=0有非零解的充分必要条件是（ ）,一、选择题,（A） （B） （C） （D）,习题三,系数矩阵的行数是,，行数是,方程数,未知数个数。,C,2.设A是 矩阵， Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次方程组，那么下列叙述正确的是（ ）,（A）如果Ax=0只有零解，那么Ax=b有唯一解（B）如果Ax=0有非零解，那么Ax=b有无穷多个解（C）如果Ax=b有无穷多个解， 那么Ax=0只有零解（D）如果Ax=b有无穷多个解，那么Ax=0有非零解,/,/,但,注：若A是方阵则可推出,D,3.设A为 矩阵，则有（ ）（A）若mn，则Ax=b有无穷多解（B）若mn ，则Ax=0有非零解，且含有 个 自由末知量（C）若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解（D）若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解,mn,自由末知量个数,（基础解系包含向量个数）,A有n阶子式不为零,A的列数,D,/,/,4.方程组 有非零解，则 =（ ）,（A） （B）（C） （D） 或,D,5.向量组 线性无关的充分必要条件是( ).（A） 都不是零向量（B） 中任意两个向量的分量不成比例（C） 中每一个向量均不可由其余向量 线性表示（D） 中至少有一个向量不可由其余向 量线性表示,C,（A）是必要非充分条件,（B）是必要非充分条件,（D）是必要非充分条件,6.设向量 ，下列命题中正确的是( )（A）若 线性相关，则必有 线性相关（B）若 线性无关，则必有 线性无关（C）若 线性相关，则必有 线性无关（D）若 线性无关，则必有 线性相关,无关向量组加长后仍然无关；,相关向量组减短后仍然相关。,B,是 的加长的向量组,7.向量组 的秩不为零的充分必要条件是（ ）（A） 中没有线性相关的部分组（B） 中至少有一个非零向量（C） 全是非零向量（D） 全是零向量,（A）,线性无关,全为零向量,不全为零向量,B,是充分非必要条件,（C）是充分非必要条件,8.向量组 线性无关的充要条件是（ ）（A）向量组中不含零向量 （B）向量组的秩等于它所含向量的个数（C）向量组中任意 个向量线性无关（D）向量组中存在一个向量，它不能由其余向量 线性表示,B,（A）是必要非充分条件,（C）,（D）是必要非充分条件,，是必要非充分条件,整体无关则部分无关,，但部分无关不能得到则整体无关,9.若m个n维向量线性无关，则( )（A）再增加一个向量后也线性无关（B）去掉一个向量后仍线性无关（C）其中只有一个向量不能被其余的线性表示（D）以上都不对,B,（B）整体无关，则去掉一个向量后的部分无关,（A）无关向量组增加一个向量后也可能线性相关,如加入零向量,向量组线性无关，其中任何一个向量不能被其余的线性表示,10.设A为 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是（ ）（A） A的列向量组线性无关（B） A的列向量组线性相关（C） A的行向量组线性无关（D） A的行向量组线性相关,Ax=0仅有零解,A的行（列）秩为n,A的行（列）向量中有n个向量线性无关,A,11.已知 可由 线性表示，但 不能由线性表示，则下面结论正确的是（ ）（A） 能由 线性表示，但不能由 线 性表示（B） 能由 线性表示，也能由 线性 表示（C） 不能由 线性表示，也不能由 线性表示（D） 不能由 线性表示，但能由 线 性表示,A,( 不能由 线性表示）,若,矛盾！,12.设A为方阵，则|A|=0的必要条件是（ ）（A） A中有两行（列）元素对应成比例（B） A的任一行向量为其它行向量的线性组合（C） A中必有一行向量为其它行向量的线性组合（D） A中至少有有两行元素全为零,|A|=0,A的行（列）向量线性相关,C,（A）是充分非必要条件,（B）是充分非必要条件,（D）是充分非必要条件,13.设线性方程组Ax=b有两个不同的解 ，则下列向量中（ ）一定是的解。（A） （B） （C） （D）,D,14.设 是Ax=0的解， 是Ax=b的解，则（ ）（A） 是Ax=0的解 （B） 是Ax=b的解（C） 是Ax=0的解 （D） 是Ax=b的解,C,二、填空题：,1.设 ，且秩(A)=2，则a= .,6,也可用|A|=0求解,3.向量 和 线性相关的充要条件是_.,2.设 ，则被 线性表示的表示式为 .,分量对应成比例,4.设 ，则 线性 关。,相,5.已知向量组 线性相关，则k =_.,2,或： 线性无关,，但 线性无关，,可 由唯一线性表出,，容易看出,6.已知向量组 的秩为2，则数t =_.,3,或：,中最多只能有两个向量线性无关，,而 线性无关，,可 由唯一线性表出，,容易看出,7.设线性方程组 的系数矩阵为A，设B为3阶方阵，B O ，且AB=O，则k=_.,B的每一列都是Ax=0的解, 即Ax=0的有非零解, |A|=0,1,8.若齐次线性方程组 只有零解，则k的范围为 .,系数行列式不为零,或：|A|=0，否则A可逆,，此时由AB=O可得B=O.,1.向量组 线性无关， 试讨论向量组 的线性相关性。,9.已知A是 矩阵，且线性方程组Ax=b有唯一 解，则r(A)= .,4,三、计算题,解：设,则,即,又,线性无关，,所以,此方程的系数行列式,按第一行展开,（1）s为奇数时，,线性无关。,，方程组只有零解，,（2） s为偶数时,线性相关。,，方程组有非零解，,2.给定向量组： (1)求向量组 的秩，并判断该向量组 的线性相关性；(2)求该向量组的一个极大无关组,并把其余向量用 极大无关组线性表示。,， 线性相关。,是一个极大无关组，且：,3.设向量组（1）当a