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有趣的多边形有趣的多边形【内容综述】在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是：几边形的内角和是，由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。更加本质的是它的推论：任意多边形的外角和等于。【要点讲解】多边形中通过连结对角线中把多边形就分割为若干个三角形，这就把研究多边形的问题转化为研究三角形的问题，这是一种重要的研究思路，请读者在下面的解题过程中认真体会这种思路。例1 已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。思路 设多边数的边数为n，然后通过已知条件列出n的方程，再求出n值。解 设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得 n=8答：这个多边形的边数为8说明 本题通过设边数为n，然后依题意列出n的方程，再求出n值。这是运用方程的思想解几何题。这种思想方法今后还会经常用到。例2 一个多边形的每个内角都等于，求这个多边形的边数。思路1 利用多边形的内角和定理。解法1 设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得n=10思路2 利用多边形的外角和定理。解法2 因为这个多边形的每个内角都等于，所以每个外角都等于，而多边形的外角和是，所以这个多边形的边数是 .说明 当你们学习了解法1和解法2后，你们心里产生了怎样的想法呢？显然，解法1比较传统，解法2则标新立异，这就启发我们解题时选择恰当的出发点是多么重要。例3 一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于，求这个多边形的边数和这个内角的度数。思路 利用多边形的内角和定理。解 设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为X，根据题意有 . 又 解之得 又 由n是正整数得n=14 说明 在解题中要重视对题目隐含条件的发掘和利用。如本题中的x取值范围是。n是正整数等。例4 求证：n边形的内角中，最多有3个锐角。思路1 用反证法.证法1 假设n边形至少有4个锐角，取出4个锐角之后剩下的角记为，则有，得 那么 ，中至少有一个大于，而这与，中的每一个都小于180矛盾。所以，n边形的内角中，最多有3个锐角。思路2 转化为证明它的等价命题：n边形的外角中，最多有3个钝角。证法2 因为n边形的外角和是，所以这n个外角中最多有3个钝角。（若有4个或4个以上角是钝角，则外角和就大于，这与n边形的外角和定理矛盾）。这3个是钝角的外角的对应内角就是锐角。所以，n边形的内角中，最多有3个锐角。说明 当要证明的是有关：“最多”、“至少”等问题时，常常用反证法证明。通过证法1、2的比较后，我们就应认清“多边形的外角和定理”是对多边形的本质刻划。 例5 如图2-9-1，求的度数。 思路 要想方设法把这些要求的角集中在一个或几个多边形中。解 连结AF AD和CF交于O又在四边形ABEF中，有即例6 如图2-9-2，试求的度数。思路 连结CH，利用五边形CDEFH求所求角的度数。 解 连结HC.在五边形CDEFH 中，有说明 这类题解决的关键在于通过连结辅助线，巧妙的把所求的角放入若干个多边形中，借助于多边形的内角和来解决问题。例7如图2-9-3， 并且试求k的值。思路 利用题设条件求出的具体值，然后求出K的值。解 例8 己知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，求该凸十一边形的各内角的大小。思路 设凸十一边形的内角中有 的个数分别为x, y, z, s. 列出它们满足的关系式，并求出x, y, z, s的值。解 设此凸十一边形的各个内角中有 x个 y个 z个 s个由题意有 由得 代入化简得因为均为非负整数，所以故=10.则这个凸十一边形有一个角是，有十个内角都是。强化练习题A级填空题 1. 一个n边形的内角和等于它的外角和，则n=_. 2. 一个凸n边形的外角中，最多有一个钝角。 3. 已知凸n边形的n个内角与某一个外角之和为，则n=_.4. 如图2-9-4，求A+B+C+D+E的度数。B级5. 一个六边形的六个内角都是,连续四边的长度依次是1,3,3,2, 则这个六边形的周长是_.6. 一个多边形有三个内角为钝角,这样的多边形边数的最大值是_。7. 在同一平面上画两个边数各为的凸多边形。如果 没有任何线段重合，则的交点数的最大值是_。8. 在n边形内有m个点，以这n+m个点为顶点组成k个互不重叠的三角形，求k的值。参考答案:填空题1. 4。提示： .2. 3。 提示：因为n边形的外角和为，所以钝角最多有3个。（若有4个成4个以上外角为钝角，则外角和将大于，这与外角和定理矛盾）。3 9。提示：设这个外角为，则。 又，。解之得 。又由n是整数得n=9。4。如图2-9-5， ， ， 。 5 15。 提示：如图2-9-6，延长BC、DE、AF交于G、H、M，由六边形的每个内角都是，得CHD、FEM、GBA、GHM都是等边三角形GB=GA=AB=1， CH=DH=CD=3， GH=1+3+3=7。进而可求得EF=2，AF=4，周长为1+3+3+2+2+4=15。6 6。提示： 由已知知这三个是钝角的内角的相邻外角是锐角，又因为外角和为，所以，外角中余下的钝角个数最多为3个，所以，多边形边数的最大值是6。7 2n。提示：首先，任一直线与凸多边形的边最多有两个交点，否则至少有个交点，必存在一个交点，其两旁均有交点，延长这一点所在的边，则多边形被这条延长直线分成两部分，与凸多边形矛盾。其次，当的每一条边都有