一类Hilbert型不等式的改进和推广硕士学位论文.doc

分类号 ICS 学校代码 10136 学 号 200900081硕士学位论文一类Hilbert型不等式的改进和推广On an Extension of Hilberts Inequality and Generation矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价：一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）年 月 日教学系意见：系主任： （签名）年 月 日摘 要1908年，德国数学家Hilbert提出并证明了Hilbert不等式，1925年，英国数学家Hardy引入了一对共轭的参数后，将Hilbert不等式推广为Hardy-Hilbert型不等式，后我们将其统称为Hilbert型不等式，从此有关Hilbert型不等式理论的研究非常活跃，诸多文献丰富和发展着Hilbert型不等式理论。且作为数学工具，其在众多领域起着十分重要的作用。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。1991年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型Hilbert型不等式和Hardy-Hilbert型不等式厦礴恳蹒骈時盡继價骚。I.Schur控制关系和Schur凸函数两个最基本的概念1925 年，Marshall和Olkin的名著 “Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications”系统地阐述了控制不等式理论，从此Schur凸性理论研究引起了人们的广泛兴趣目前，Schur凸性的研究非常活跃，众多文献中讨论了对称函数的Schur凸性，且在数学其它分支中有重要应用，并获得了众多经典结果 茕桢广鳓鯡选块网羈泪。1923年，I.Schur证明了初等对称函数和商的Schur凸性问题，1999年，石焕南教授首先研究了初等对称函数差的Schur凸性，之后文29(1957)，30(1961)，31(2004)和文32(2010)也研究了此类的问题鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。另外，2007年，关开中在文16中定义并研究了对称函数： ，(其中，为正整数)的Schur凸性问题，并提出一个猜想2009年，褚玉明等人在中国科学中解决了这个猜想籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。本文，研究了下面的内容：首先定义了两类对称函数和：，(其中为区间，)，然后研究了和的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性及其应用问题預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 另外，我们还定义了对称函数：， (，)，并研究了对称函数和的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性，得到了一般结果，并顺便解决了对称函数的Schur几何凸性和Schur调和凸性问题渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。关键词：Hilbert型不等式；参数；权系数；共轭指数；Euler-Maclaurin求和公式On Schur-convexity for Three Type of Symmetric Functions铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。AbstractI. Schur firstly introduced two basic concepts: control relationship and Schur-convex function in 1923. In 1979, Marshall and Olkin systematically illustrated the control inequality theory in the famous book Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications. From then on, more and more people show interest in the study on Schur-convexity. Currently, the study on Schur-convexity is very active. There are many literatures discuss the Schur-convexity for symmetric functions. These properties could be applied to the other branch of mathematics and some classical results are obtained. 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。In 1923, I. Schur firstly studied the Schur- convexity for the elementary symmetric functionsand the quotient. In 1999, Shi Huannan studied the Schur- convexity for , and then paper 30(1957),31(1961),32(2004) and 33 (2010) also studied this type problems. 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。In addition, in 2007, Guan Kaizhong defined and studied on the Schur- convexity for the symmetric functions: 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 (Where, ，is a positive integer) and proposed a conjecture in paper 16. In 2009, Chu Yuming et al solved this conjecture in Science China. 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。This paper studies on the Schur-convexity, the Schur-geometry convexity, the Schur-congruity convexity and its application for symmetric functions and : 買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。, , (Where is a interval, ，). Moreover, we defined the symmetric function (，)：and studied the Schur- convexity, the Schur-geometry convexity and the Schur- congruity convexity for symmetric functionsand. Some general results are obtained, and the problems of the Schur-geometry convexity and Schur- congruity convexity for symmetric functionsare obtained. 綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。Keywords: symmetric function; logarithmic convex function; Schur-convexity;驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。Schur-geometry convexity; Schur- congruity convexity 猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。Directed by: Prof. BaoyintegusiApplicant for Master degree: Nie feng-fei (Applied Mathematics)锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。(College of Mathematics，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China)構氽頑黉碩饨荠龈话骛。目 录摘 要I輒峄陽檉簖疖網儂號泶。AbstractII尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。目 录IV识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。第一章 引言1凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。1.1 本课题的选题意义及背景1恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。1.2 与本课题有关的Hilbert型不等式的研究现状5鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。1.3 本文主要研究内容6硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。第二章 一类Hilbert型不等式的研究7阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。2.1 关于Hilbert型不等式在权系数下的研究义及相关引理7氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。第三章 Hilbert型不等式的进一步研究11釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。3.1 关于Hilbert型不等式的进一步研究的定义及相关引理11怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。3.2 关于对称函数商的Schur凸性12谚辞調担鈧谄动禪泻類。3.3 特殊形式的对称函数商的Schur凸性13嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。4.1关开中对称函数及其Schur凸性的定义及相关引理13熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。致 谢15鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。作者简介16纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。23 内蒙古民族大学硕士学位论文 23第一章 引言1.1 本课题的选题意义及背景随着科学技术的迅速发展，等式理论及相关知识已不能满足现代科学的需要，不等式理论和方法业已成为现代科技理论必不可少的工具。数学不等式学科是一门研究数量之间比较大小及变量变化之间相互制约的关系的学科。许多问题中，往往同时存在着若干量，涉及到的相互关系，常常被归结为证明某个或某些不等式问题。从而，作为数学工具，不等式在众多领域起着十分重要的作用。诸如分析不等式、图论和矩阵论、概率论、统计学、组合论、优化理论有着密切的联系，甚至在实验、可靠性、信息安全性及相关领域中也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为不等式理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，不等式理论一直在不断丰富和发展着。颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。1908年，德国数学家Hilbert提出并证明了著名不等式： .1925年，英国数学家Hardy引入了一对共轭的参数后，将其推广得到了Hardy-Hilbert不等式：濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。.1934年，哈代等在“Inequations”中，归纳了数篇相关文章的研究思想，使关于1齐次核Hilbert型不等式的基本理论大致完成。銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。1991年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型Hilbert型不等式和Hardy-Hilbert型不等式，并提出了2个公开问题，征求加强式子中常数的最佳值。挤貼綬电麥结鈺贖哓类。近些年来，Hilbert型不等式一直受到数学界的关注，许多数学家对它做了大量的改进及推广工作。依杨必成教授总结，Hilbert型不等式的研究大致分为以下四个阶段：赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。第一阶段：1992至1997年间，湖南吉首大学高明哲教授与广东第二师范学院杨必成教授解决了徐利治提出的公开问题。这一期间的研究说明，通过巧妙配方产生权系数，并辅以分析技巧估算它，从而建立加强型的Hilbert型不等式或Hardy-Hilbert型不等式，这就是所谓权系数方法，它是推动Hilbert型不等式理论研究的重要方法。塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。第二阶段：1998至2003年间，杨必成运用权系数方法伴之引入独立参数及Beta函数，把1齐次核Hilbert型不等式提升到一般负数齐次核的相关不等式。裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。第三阶段：2004至2008年间，杨必成发现了对偶的Hardy-Hilbert型不等式，构造了逆向的Hilbert型不等式，后续地结合算子理论，为建立Hilbert型不等式及Hilbert型算子理论打下基础。仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。第四阶段：在纪念Hilbert型不等式诞生百年之际，杨必成积累研究成果，开始著书立说，出现了较系统的Hilbert型不等式理论。其中代表著作有算子范数与Hilbert型不等式、Hilbert-Type Integral Inequalities、Discrete Hilbert-Type Inequalities、Hilbert-Type Integral Operators and Their Inequalities。绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。下面给出与本文相关的定义及判断条件：本文约定为实数列，满足参数，且参数，且参数标记权系数为及加参数后的的权系数，本文对此做了估计。这里标记一样了这里.定义函数及义数mators and Their alities骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。定义1.1.1若为实数列，满足，则不等式称为Hilbert不等式，其中，常数因子为最佳值。定义1.1.2设为实数列，满足，得到了Hardy-Hilbert不等式：，其中，常数因子是最佳值。以上不等式统称为Hilbert型不等式。定理1.1.1在权系数下，这里.2几个引理引理2.1 (1)(改进的Euler-Maclaurin求和公式) 设，则.引理2.2 设，则(1) 1 ，(2) 4 引理2.3 设，则，其中,引理2.4 设，则，其中，。其中，杨必成给出了一个具有最佳常数的不等式及其等价式。,.2005年，杨必成在上述条件下又引入独立参数，得到了下列不等式：,同时还有其等价式。Hilbert型不等式在分析学等领域有着重要的地位。在对Hilbert型不等式的众多加强工作中，大多都用到了Euler-Maclaurin求和公式，2010年黄启亮就曾提出并证明了一个有关权系数与Euler-Maclaurin求和公式相联系的估算方法：瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。这里,对于,定义的权系数为 .本文的目的是给出上面不等式中权函数的加强推广式，并对其进行了估算。作为应用，给出了一个较上述内容更一般化的推广形式。下面对本文的权系数进行估计鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。这里,.1.2 与本课题有关的Hilbert型不等式的研究现状近些年来，数学工作者从不同侧面不同角度论述了Hilbert型算子及其不等式应用的理论。依据权系数方法参数化思想及算子理论，主要研究若干类型的Hilbert离散型不等式Hilbert积分型不等式Hilbert型算子的范数表示，合成性质和不等式应用。栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。该领域国内外研究现状及趋势：1908年，数学家David Hilbert发表了以其名字命名的“Hilbert不等式”。由此引起不少研究者的关注。1925年，哈代引入了一对共轭参数，推广了Hilbert不等式，史称Hardy-Hilbert不等式。后续，他又完成了负一次齐次核的基本理论。近年来，对不等式理论感兴趣的数学工作者仍在继续研究这个古典的不等式。辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。1991年，徐利治首次提出权系数方法，加强了Hilbert不等式及Hardy-Hilbert不等式。2003年至今，杨必成改进了权系数方法并引入了独立参数，发现了对偶的Hardy-Hilbert不等式及参数化的Hilbert不等式等相关理论。峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺。数学不等式一直是20世纪非常活跃而有吸引力的研究领域,特别是该世纪90年代不等式研究空前活跃，研究的深度广度迅速扩大。詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。目前国内关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如2009年，杨必成出版了算子范数与Hilbert不等式；2009年至2010年，他又出版了的两部英文专著“Hilbert-Type Integral Inequalities”及“Discrete Hilbert-Type Inequalities”。这三本书，均以权系数方法，参数化思想及算子理论为主要工具，从不同侧面，不同角度论述了Hilbert算子及不等式的理论，内容覆盖了近年来的文献及主要成果。则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。数学不等式理论充满蓬勃生机兴旺发达，有着广阔的前景和良好的发展前途。特别，在1990年LCHsu等学者认真地研究了Hardy原来采用的方法（文献2020Hsu，LC&Y K Guo A Refinement of HardyRieszs Extended Hi lbert Inequali tyJ， J Math Res Exp，1990， lO (4)）Hsu和Guo20率先引入权函数，将不等式(15)改进为：胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。砉烹瞽(g)口：耀嘶)醪r (110)后来， Hsu2727Hsu， LC&Y KGUO Note on HardyRiesz s Extension of鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。Hi lberts InequalityJ，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。1991。6(1)：7577和Gao2828Gao， MZ An improvement of HardyRieszs Extension of the陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟。Hilberts Inequal ityJ J Math Res Exp， 1994，14(2)两年后，Gao进一步改进权函数 2929Gao，MZA Note on the HardyHi 1bert Inequali tyJJMath沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。Anal Appl， 1996，204(1)：346351再次精确权函数为如下结果：喜熹(扩=赢一辔m在30，31中Yang和Gao计算出一个 (以)的一个下确界和上确界2424Gao， MZ A Supremum on HardyHi lbert s Inequal i ty wi th钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。WeightJJ Math Study， 1998， 31(1)：1823，从而解决了文2121Hsu，LC&YJWangA Refinement of Hilberts Double Series懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。TheoremJJ Math Res Exp，1991，1 1(1)：143144和2727Hsu， LC&Y KGUO Note on HardyRiesz s Extension of謾饱兗争詣繚鮐癞别瀘。Hi lberts InequalityJ，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。1991。6(1)：7577提出的问题在权系数下，定理1.1.1定理1.1.1设,且，则,.定理1.1.1 ，这里. 对应的等价形式定理1.1.1设,且， ，则，1.3 本文主要研究内容(1) 将建立新型权系数的有关函数，讨论相关不等式，进行比较，并给出一些应用。(2) 将各种Hilbert型不等式之间的联系和权系数，参数等相关内容结合起来，进一步研究Hilbert型不等式的等价形式及其逆等有关知识。莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。(3) 将所得到的广义Hilbert型不等式的性质。(4) 对已有的不等式进行推广。众多文献研究了Hilbert型不等式问题7,8,14-32，本文共分三章：第一章，简述课题的发展历程研究现状与本文所做的工作。第二章，通过引入一个适当的权系数，利用逼近论和欧拉一马克劳林求和公式，得到了关于双重级数型Hilbert型不等式的一个新的改进，得到了一个原有Hilbert型不等式的一般加强形式麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。第三章，引入单参数，讨论在权系数下下的改进形式，同时证明了与其相类似的结论和应用，从而得到了Hilbert型不等式的一般结果納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。第四章，讨论在权系数下的改进形式，引入单参数在权系数下，得到了若干结果第二章 一类Hilbert型不等式的研究2.1 关于Hilbert型不等式在权系数下的研究义及相关引理本章通过引入一个适当的权函数，并运用Euler-Maclaurin求和方法，对关于Hilbert级数不等式进行了一个新的加强结果，作为应用，给出了一些关于Hilbert级数不等式类似的结果。風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。为了证明我们的结论，我们需要下列引理：引理2.1 设，定义函数则,，且 (2.1)其中.引理2.2 设，则(1) 1 ， (2) 4 引理2.3 设，则 ， (2.2)其中,证 由引理2.1和引理2.2，有 (2.3)因函数为关于的严格单调递增函数，那么，有，又，有，从而，有， 故由式(2.2)(2.4)可知，结论成立证毕引理2.4 设，则 ， (2.4)其中，证 由引理2.2，有 ，(2.5)因函数关于变量在上的非负凸函数，由Hadamard积分型不等式，有 ， (2.6)由式(2.5)和式(2.6)，令求的导数，得， 因为的严格递减函数，所以，有 且 令， (2.7)那么，有，于是，有，由式(2.9)可知，从而，有故结论成立证毕 下面给出引理2.3与2.4的一个推论推论 设，则， (2.8)其中， 定理2.1 设，且，记，则 (2.9) 其中同于推论2.5证 由Hlder不等式，引理2.2和引理2.3，有证毕定理2.2 在定理2.1的条件下，则, (2.10). (2.11)其中.推论 设，则(1) 若，有.(2) 若，有,.其中综上，本章主要改进了一类Hilbert型不等式的，并结合已有理论建立了几个推广的不等式，得到了一些结果灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹。第三章 Hilbert型不等式的进一步研究3.1 关于Hilbert型不等式的进一步研究的定义及相关引理在这一部分，我们首先给出一个原有权函数的改进形式引入参数行如：，这里,.下面给出本章相关的引理。引理3.1.1设，定义函数 (3.1)则， ，且 (3.2)其中，.引理3.1.2设，则(1) 1 ，(2) 4 引理3.1.3 设,，则, (2.2)其中证 利用式(2.1), 我们有,从而当时，由引理2.1，有，记，因函数是关于的递增函数，于是，有，从而不等式(2.1)成立证毕推论1 在引理2.3的条件下，则，其中 引理3.1.4设, ，则 (2.3)其中证 利用式(2.1), 经计算可得，作变换，那么由引理2.1和引理2.2，有综合上述估算结果，有.主要结果定理3.1 设,，若，满足，记，则,这里证 由Hlder不等式，有 下证上式中的不等式中不能取等号若不然，则存在不全为零的常数，使得在上，有等式成立，经过整理后，得 不妨假设不为零，则有在上成立，这与矛盾，上式不等式严格成立 铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。定理3.2 在定理3.1的条件下，则，其中对于时，本文得到了更一般化的形式本文推论3.2改进了文4中的定理3.1推论3.1设，,，且，记，则 其中，推论3.2在引理3.1的条件下， ，则(1)，推论3.3设，则(1) 若，有,(2) 若，有,推论3.4 设, ,，若，且，记，则(1),(2)，其中参考文献1 H.Weyl ,Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des Fourierschen IntegralTheorems,Inaugeral dissertation,University of Gottingen,Gottingen,Germany,1908.攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。2 G.H.Hardy, Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive term J, Proceedings of the London Mathematical Society,1925(23), 45-46.趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。3 全国不等式研究会.不等式研究通讯M.最值定理与分析不等式专刊.2010.7.4 杨必成.杨必成数学论文集M.广东教育学院应用数学研究所.2010.1.5 胡 克.解析不等式的若干问题M.武汉大学出版社.2007.6 匡继昌.常用不等式M (第四版).山东科学技术出版社.2010.7 王伯英.控制不等式基础M.北京师范大学出版社.1990.8 黄启亮.一个Hilbert型不等式及其等价形式的加强推广J.数学杂志.30(3).2010.夹覡闾辁駁档驀迁锬減。9 谢子填.一个新的实齐次核Hilbert型积分不等式及其逆J.广东教育学院学报.30(3).2010.视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝。10 付向红,和 炳.具有两个参数的Hilbert型积分不等式J.吉林大学学报.48(4).2010.偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。11 B.Yang. Hilbert-Type Integral Inequalities M.Guangdong Education Institute.2010.3.緦徑铫膾龋轿级镗挢廟。12 G.H.Hardy.Note on a Theorem of Hilbert Concerning Series of Positive Terms M.Proceedings of the London Mathematical Society. 23(2).1925.45-56. 騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼。13 Yang.On Best Extensions of Hardys Inequality with two Parameters J.Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 6(3).2005.1-15.疠骐錾农剎貯狱颢幗騮。14 J.Kuang. Recent Advances in the Research of Hilberts Inequalities J.Journal of Beijing Union University. Beijing. 24(1).2010.53-59.镞锊过润启婭澗骆讕瀘。15 M.Z.Gao.On The Hilbert Inequalitiy J. For Anal. 18(4).1999.1117-1122.榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛。16 Y.Hong. All-side generalization about Hardy-Hilberts integral inequalities J. Acta.Math. Sinica.44(4).2001.619-626.邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑。1. 不等式文献及相关文献.2.3. G. H.Hardy, J. E.Littlewood and G.Polya, ,InequalitiesM. 2nd. Cambridge: Cambridge University Press, 1952.嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲。4. E. F.Bechenbach and R. Bellman, InequalitiesM. Berlin： Springer-Verlag, , 1961.该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭。5. D. S. Mitrinovi and P. P. Vasi, Analytic InequalitiesM. Berlin: Springer-Verlag, 1970.劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙。6. 匡继昌,常用不等式M (第四版). 济南: 山东科学技术出版社,2010.7. A. W. Marshall and I. Olkin, Inequalities: Theory of Majoriztion and its ApplicationsM. New York-London: Academic Press, 1979.臠龍讹驄桠业變墊罗蘄。8. 王伯英,控制不等式基础M.北京: 北京师范大学出版社,1990.9. X. M. Zhang,Schur convex functions and isoperimetric inequalitiesJ. Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1998),461470.鰻順褛悦漚縫冁屜鸭骞。10. K. Z. Guan, Schur-convexity for a class of symmetric function and its applicationsJ. Math Inequal Appl., 9(2) (2006),199-210.穑釓虚绺滟鳗絲懷紓泺。11. K. Z. Guan,Schur-convexity of the complete symmetric functionJ. Math. Inequal. Appl., 9(4) (2006), 567-576. 隶誆荧鉴獫纲鴣攣駘賽。12. J.Pearic , F. Proschan and Y. L. Tong,Convex Functions，Partial Orderings and Statistical ApplicationsM.Academic Press, Inc. ,1992浹繢腻叢着駕骠構砀湊。13. 胡 克,解析不等式的若干问题M. 武汉: 武汉大学出版社, 2003.14. 张小明,几何凸函数M. 合肥: 安徽大学出版社, 2004.15. 张小明,解析不等式新论M. 哈尔滨: 哈尔滨理工大学出版社, 2009.16. I.Schur,ber eine klasse von mittebildungen mit anwendungen auf die determinanten theorieJ .鈀燭罚櫝箋礱颼畢韫粝。Sitzungsber. Berlin. Math. Gesellschaft, 22(1923), 9-22. 惬執缉蘿绅颀阳灣熗鍵。17. 禇玉明,夏卫锋,赵铁洪,一类对称函数的Schur凸性J. 中国科学A辑,39(11) (2009), 1267-1277.贞廈给鏌綞牵鎮獵鎦龐。18. K. Z. Guan, Some properties of a class of symmetric functionsJ. Math. Anal. Appl., 36(1) (2007),7080. 嚌鲭级厨胀鑲铟礦毁蕲。19. Y. M. Chu, X. M. Zhang and G.D. Wang, The Schur geometrical convexity of the extended mean valuesJ. J. Convex Anal., 15(4)(2008),707718.薊镔竖牍熒浹醬籬铃騫。20. G. D.Anderson, M. K.Vamanamurthy and M. Vuorinen, Generalized convexity and inequalitiesJ. J. Math. Anal. Appl., 335(2)(2007), 12941308.齡践砚语蜗铸转絹攤濼。21. W. F. Xia and Y. M. Chu, Schur-convexity for a class of symmetric functions and its applicationsJ. Math. Inequal. Appl.,2009, Article ID 493759, 15 pages.绅薮疮颧訝标販繯轅赛。22. 杨定华, 抽象控制不等式的理论基础J. 中国科学A辑, 39(7)(2009),873-891.23. 褚玉明,夏卫锋, Gini 平均值公开问题的解J.中国科学A辑, 39(8)(2009),996-1002.饪箩狞屬诺釙诬苧径凛。24. 祁 锋, 浅谈数学不等式理论及其应用J. 焦作大学学报,(2)(2003),59-64.25. F. Qi and S.X. Chen, Complete monotonicity of the logarithmic meanJ. Math. Inequal. Appl., 10(4)(2007),799804.烴毙潜籬賢擔視蠶贲粵。26. N. G. Zheng,Z. H. Zhang and X. M. Zhang, Schur-convexity of two types of one-parameter mean values in n variablesJ. J. Inequal. Appl., vol. 2007, Article ID 78175,10 pages.鋝岂涛軌跃轮莳講嫗键。27. W. D. Jiang, Some properties of dual form of The Hamys symmetric functionJ. J.Math.Inequal., 1(1)(2007),117125.撷伪氢鱧轍幂聹諛詼庞。28. Y. M. Chu and Y. P. Lv,The Schur congruity convexity of the symmetric functions