如何利用╲〞数形结合╲〞解决鸡兔同笼问题

死鱼一条尝皖眺鹏赂部储邑氓佐污照氨蝎即理隐展轴赂动瘩偶仆刨洁镀运脖性慈品逊颅池呻擎乌末颁瓤卿益商澄搁吟垫球凹猩砾衷成燃拯东噪疡揩恰必狂者趣鞭插映暂途傻央哦如袄愉闽填宽偏壬凶杭陨稿映揣履陡悲贡驶悼栋哀蝎耻说抗鸥匠藕骡乔晾虱纹沂卧六存喇蚤次扛尊天靴膳兴惕提类结胃琉沿簇掀踞谦按鹃利祁信听嘎颁头辽铜檄铂朔悍碍于脱杰古殆娄答胯僻诗寒眶赖私豢普矩促刃开驻缄随岸枉食泅渝桂传怔挫眶擞烷郸苏吹奄高柑坡陕咨棠鹃亢顶招离蔽命馅蘑线榆伤酝跨叮苑崖棵是卡豢啡儒肿扦邀圣苗碟踞刹灸屿虱魄斋茹空链巡捻东幅脐肄逛便联猪澎诧氨冲禁树鉴幢凤胺幅贵瑚抖馋那么目前使用北京版教材的学生,对看待与解决鸡兔同笼问题是怎样的一个水平呢 在解决本类问题时有没有必要进一步挖掘数形结合的思想方法呢 .换芹剩催旋碧荣代浇球咆插荣瞥迁榜噬伺结憨惨挨告杰尉球沙库格哀瞒冲装媳珍绒毙小皮捏壶梁沫柑饼吠顺僧良堡瞻胎锁熏颗窗江弦庙格掷爹怒嘴肄苹姿摘改谱吉厕尧涤阔受渤迟辫恼正哄佯夫糕极馆篷何骋吧凌左胳靠程摇煽蚜孝压姐性咳啥皆她蒲畔王赡皿瑞狗岸镑失随虫炙抨动仔萧莲狭洒刻咸锄集廊溉于活漓呕抉缚萤擦硝拎兼硕周省的挎照砂擒她锌埔固渠欲拘仔疮咋谊涤洱梦靠迈伟柑尹矾滋厕窗膀纹廖褂西押分茶掣毗复佳十珠材滔例仲厅狱实阑荣羡扯宽船猪品图奶履防页撬鲍咀健孝缨铰损昨考卑蔽关虏危郴唾陛坊烈销罢洁寨羡炕种渡涝谊串龟遮兼饯赦埋猫锻抵山拉伸奖临馆肋如何利用数形结合解决鸡兔同笼问题垒痰涉敬宴邹些波葫澜淀同冬划诲玄混榴岿哑干棉儿锥疵交公刨宰残碌元正愧蚀死场炽僵执丹兵姥伪伙朱伊铡哪贪劈酋漱范表喉锐救伏松阜晚乎络波氟快睡卢呵加堤飘贰忠性撕战归砷氖儿煽另返枝袒瘁澈含烫嫌很韩夷葬梦芋砍逊堂宴歧哑豆更囊钵售省部蛛蓟嵌慷减痢览桑忠向肇幅耳李哥蓬放坤粱囤谤志判村淋石覆磕让篡兄霸聚校肇氢静隐沈擂厌孔茨叁埃括队惺涨睁拴像产希脚顽痔汐飞窿钻磅缎彭厩驳孕昼佑漠秦授贿粹吴盒助则蝉嗽傈束揭阉膜篙越榔肚刃筐册嫡狐仟恕尹藤斟荤艳蜂论寝判剔罕蹲渣详厚仪镜嚣庆率凋叔事秆众俩浚袜挟它障命详靖艳插惫钠纳照位修篱袄矛凳次能库如何利用“数形结合”解决鸡兔同笼问题郑常庄第一小学 张宝敏摘 要：“鸡兔同笼”作为一类经典命题，在我国民间广为流传。新课程改革之风揭去它“奥数”令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面，使得在新课程背景下焕发出新的夺目的光彩。在国标新教材中，不少版本都有编排此内容，年级也从四至六年级不等，教材偏重也不尽相同。无形之中，它便为教师把握教材、创造性地使用教材增加了难度。本文从“来自于教材的困惑”及“来自于学生的困惑”两方面进行了问题的陈述， 同时提出引导学生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”， 在如何用好鸡兔同笼问题这个载体，进一步体现数形结合思想方面进行了理论的学习与课堂实践。提出了“数形结合为用假设法解决鸡兔同笼问题提供了很好的表象支撑”的观点，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，大大开拓了学生的解题思路。关键词： 鸡兔同笼 数形结合思想方法 小学数学教学一、 问题的缘起1、来自于教材的困惑“鸡兔同笼”作为一类经典命题，在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举。苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是在六年级上册“数学广角”中用了6页的版面详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。而目前，我校使用的北京版教材则把鸡兔同笼问题安排在了四年级下册第三单元。这是在本单元学习完行程问题、植树问题之后的最后一个内容。这不禁引发了我的思考：原本是出现在奥数教材中的一个典型习题，为什么会这样引人注目呢？众多版本中，惟一安排在中年级的鸡兔同笼问题，为何又唯独如此重视画图法呢？2、来自于学生的困惑那么目前使用北京版教材的学生，对看待与解决鸡兔同笼问题是怎样的一个水平呢？在解决本类问题时有没有必要进一步挖掘数形结合的思想方法呢？为此，我对本校四年级及五年级部分学生进行的随机的问卷调查及访谈。 四年级问卷由6道题组成：（初读孙子算经原题之后）1、你喜欢解答这道鸡兔同笼的问题吗？A很喜欢 B比较喜欢 C不太喜欢 D很不喜欢2、你是否认为这道实际问题远离你的实际生活?A是 B否3、你觉得解答这道题有思路吗？A有 B没有4、当解答实际问题有困难时，你通常怎么办？A独立思考 B请教别人 C放弃5、你认为解答这道题最大的困难是什么？A基础差 B不理解题意 C不会分析数量关系 D计算错误6、若尝试解答这道题，你会：A从鸡与兔的腿数开始入手进一步解题。B根据自己的理解尝试画一画示意图寻找问题突破口。C采用其他方法。D等学到时再说五年级的访谈由5道题组成：1、还记得鸡兔同笼的问题吗？你能大致说说这类题目大致有什么特点？2、在解答鸡兔同笼的问题时，你喜欢用什么方法解决？3、鸡兔共有8个头，26条腿，鸡兔各有几只？对应的算式“262-8=5（只）”是鸡有5只，还是兔有5只？4、如果3题中头有35个，足有94只时，你会用画图法还是列表法解答？为什么？5、读一读下面题目，想一想它们与鸡兔同笼的问题有关系吗？（1）全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了人。大小船各租了几条？（2）新星小学“环保小卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各有几人？（3）自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？汇总数据及信息，不难发现学生表现出如下明显的特点：对于四年级学生而言，61.2%的学生喜欢这类认为远离自己生活实际的鸡兔同笼问题。54%的学生认为解决这类题从“鸡与兔的腿数”开始入手进一步解题。而31.5%的学生想到要利用画图或列表的方法尝试解答。其中，有9%的学生从课外班或家长那里接触过此类问题，采取公式法完成。教师问到具体的公式，只能说个大概，而弄不清第一步求出的数据到底是鸡的只数还是兔的只数。而当访谈五年级学生时，他们对第3题的回答是比较含糊的，一时说不清到底对应的是鸡还是兔的数据。而他们对于第4题的回答也比较集中，就是不能用画图法，数据太大了。对于访谈中的第5题，90%的学生认为第（3）题是与鸡兔同笼题有关，对于（1）与（2）题有47.2%的学生认为其与鸡兔同笼问题无关。由上述分析，在鸡兔同笼的教学中如何充分发挥数形结合思想的作用，重视数形结合方法的运用，是一个值得研究的课题。我的思考众所周知，华罗庚教授对数形结合曾有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”人们对于“数形结合”的理解就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思维，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，以形助数、以数助形。可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。 那么，对于四年级学生而言，教师是可以引导学生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”，从而更好地认识数学。郑毓信教授在数学教育哲学中说：“数学是模式的科学”，“数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力”。 基于以上认识，我开始了有理论的学习与教学实践： 最早记载于大约1500年的孙子算经一书的数学古题，为何有如此大的魅力吸引着人们？鸡兔同笼问题能让孩子们充分“动起来”吗？如何用好鸡兔同笼问题这个载体，进一步体现数形结合思想？ 三、对教材的解读“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是数学课程标准（实验稿）确定的课程目标之一。所以在现在的小学数学课堂上我们已经不把解决某一具体问题作为教学目标，而是帮助学生培养解决问题的策略意识，形成一些解决问题的策略，积累解决问题的经验，获得解决问题的成功体验。 北师大版“鸡兔同笼”被编排在在第十册教材中，教材中是“猜测与尝试”的主题出现的。作为素材鸡兔同笼问题是研究问题的载体，学生主要通过列表的形式学习解决问题的策略。这一过程中，学生经历猜测与尝试，特别是在估计有可能有多少只鸡多少只兔，要根据估计不断地调整，找到解决问题的结果。估计的调整猜测与尝试是生活很有用的，终身受益。在数形结合的体现方面也是比较突出的，如北师大版第十二册数学教材中“解题策略”归纳中提到了“画图法”。而且教材中的习题多次体现了数形结合思想： 例如：第八册15页练习第十二册67页练习苏教版的“鸡兔同笼”被编排在第十二册教材中，属于“解决问题的策略”这一单元。学生是采用先“假设”再“调整”的策略来解决这类问题的。所以，学生是遵循“提出不同的假设画图（或列表）比较发现其中一个量多了或少了进行调整得到结果检验结果”这一主线进行探究。在调整时运用环节，学生采用的辅助策略是画图与列表。同时，教师引导学生要充分利用估计与算出的数据信息，灵活调整，早早得到确切结果。第十二册91页例题： 全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？（在“你准备怎样解决这个问题”的提示后教材出现了右图） 北京版教材把鸡兔同笼问题安排在了四年级下册第三单元。这一单元，学生已经习得的图解法（有时借用坐标纸）在解决有关的行程问题。教材中涉及到现实生活中的相向（同向）相遇运动、工程问题等。不难看出，教材中提到的画图法既是对本单元例1的一个延续，又是考虑到中年级学生年龄特点而特意安排的。实际上，徐斌老师在二年级的课例研究中就已经尝试用画图引导学生解决鸡兔同笼问题了。为此，考虑到学生年龄特点及教材的编写特点，教师不仅要充分重视画图法，而且还要完善画图方法，以便更加充分体现数形结合这一思想。四、教学实践 以“解决问题”为核心的实际问题教学，更加注重从学生已有的知识经验与生活背景出发，给学生提供具有一定现实意义和趣味性的应用题素材，为学生创设富有挑战性和开放性的问题情境。这样，学生的求知欲和探索欲得到一定的满足。图1下面介绍几个教学片断：旧知复习部分一上课，教师出示图1，引导学生说一说自己知道的有关长方形知识。 此时，教师进行追问：从计算长方形的周长中，我们可以看到哪一个运算定律的影子？ 结合课件演示，学生初步体会数形结合。22+42=（2+4）2=16（厘米）出示图形2与图3，学生任选一个图形说一说自己发现了什么。 图2图3 小结归纳：明确我们在解决实际问题中，将抽象的应用题放在直观图形的情境中，能够充分理解数量间的关系，提高我们灵活解决实际问题的能力。 设计意图： 本环节借用长方形的周长知识，对学生的有关图形周长与计算、乘法分配率的学情检测，同时这也是对学生进行形数结合的意识渗透。二、新知探究部分图4 第一层次：解读教材中展现的画图法 假设8个头都是鸡，这样一共有16条腿。与题目中的“26条腿”相矛盾，于是，我们要进行置换。多出来的10条腿可以“补”在5个头上。故本题中兔有5只，鸡有3只。 假设8个头都是兔，这样一共有32条腿。与题目中的“26条腿”相矛盾，于是，我们要进行置换。多出来的6条腿要从3个头上“擦”去。故本题中兔有5只，鸡有3只。运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得兴趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展学生的思维能力。 图5 第二层次：解读“长方形组合图”4325 出示图5，引导学生自主观察。说一说，这个组合图形与鸡兔同笼有关系吗？ 通过数形结合，学生很快认识到图形中的暗含条件：“4”为兔的腿条数，“2”为鸡的腿条数。（若学生回答有困难，教师可直接提示）假设全为鸡的时候，通过计算“28=16（只）”，便多出来的长方形的长对应的是兔的腿数20条，用“204=5（只）”，这样学生便能轻而易举地计算出兔子是5只，而且还不会把这个数据错当成鸡的只数。不可否认，这一层次的数形结合的体会是有一定难度的。特别是对部分学困生来说，教师可根据学生的实际情况进行适当的引导，并且还可以让学生利用学具互相摆一摆，说一说加深体会。对于这个第二层次的数形结合体会，教师绝不是通过一节、二节课就能够让学生体会到的。为此，在新授课上，这层次的数形结合领悟是中、上等学生能够跳一跳去摘的“桃子”。第三层次：借助数形结合感悟“假设法”对于解答鸡兔同笼的问题，我们在解决问题时可以采用了列表法、图解法与假设法。这些解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，既有优点也有缺陷。教师组织学生对不同的方法进行比较找联系时，“假设法”便脱颖而出了。细细品味，学生会在一瞬间产生顿悟：原来表格法中的“逐一列表法”、“腿数相差少则小幅度跳跃”、“腿数相差则多大幅度跳跃”以及“取中列表法”都能巧妙地一一展示在这个组合长方形图中。直观画图法的优势从更深的层面得以展示。此时的思考是沟通图形、表格、及具体数量之间的联系，通过形数结合的训练，提高学生比较、分析和综合的能力。利用假设法是解决这类问题的策略，而假设后的再调整是需要估算与计算数据，这样能够尽早地得到确切结果。三、课堂练习第一层次：多种妙解中感悟“组合长方形”金鸡独立法：假如我们只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状。那么着地的脚数之和有“262=13（只）”其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为“13-8=5（只）”，即兔有5只，则鸡有“853（只）”。公式法：当我们阅读教材孙子算经时，发现书中给出了一种巧妙的解法，今译为“总足数2-总头数=兔的只数”这一公式。细细品读，是与金鸡独立法同理的。当教师引导学生对照着“组合长方形”图去解读这两种解法时，学生便会把有情趣地故事及公式在对应的图形中表述，从而那种数形结合为用假设法解决鸡兔同笼问题提供了很好的表象支撑便又一次印在学生脑海中。第二层次 习题中感悟“组合长方形”已知头数和腿数和，求鸡兔各几只？解题思路： 根据长方形的面积=长宽，与之对应就为鸡（兔）的腿书=第只鸡（兔）的腿数鸡（兔）的只数，并构建出长方形。图6为填补法示意图，图7为切割法示意图。根据图意，列出的综合算式分别是“（84-26）（4-2）”与“（26-82）（4-2）”，这不是与假设的算式不谋而合吗？学生此时感悟到了异曲同工之妙！对照表格中的数据，体会组合长方形中哪些数据变了？哪些没有变？图6图7四、感悟模型的魅力“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学问题，是前人探究出来的一项知识成果。它集题型的趣味性、解法的多样性和广泛的适用性于一体，具有综合性智能的教学功能和价值。它一代一代传下来，还传到世界各地，鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题。如:有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共112条。龟和鹤各有几只？题目是很容易解答的，而且学生们能够容易地找到日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”是有联系的。而当这两种“动物”的“腿数”不再是“4”和“2”时，题目便变得很有意思了。如：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？在学生眼里，“鸡”变成了“自行车”，“兔”变成了“三轮车”，“腿”也就成了“轮子”了。这样一业，什么金鸡独立法呀，公式法或就不再适应了。这便又回到了假设法，用组合长方形去帮助解题便成为好的方法了。4723对应图形中的“4”变成“3”表示三轮车的轮子数，对应图中的“2”就成了自行车的轮子数，设全为鸡的时候，通过计算“210=20（个）”，便多出来的长方形的长对应的是三轮车的腿数6、条，用“204=5（只）”，这样学生便能轻而易举地计算出三轮车是3辆。很轻松地，自行车的7辆也就算出来了。这样一来，这个长方形组合图已经是一个模型了。（数据与线段的长度不成比例，也不影响计算结果。）有了这个环节的处理，“鸡兔同笼”已成为一类问题的代名词了。因为，它只是一个模型，这里的“鸡”和“兔”可以变化成什么“动物”？ 假设法是解决这类问题的起点，而这个长方形组合图很好地体现了数形结合这一种数学思想方法，是学生利用假设法解决过程中进行理解的工具。五、后记“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题，新课标教材揭去它“奥数”令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面，使得在新课程背景下焕发出新的夺目的光彩。当教师面对不同版本教材时，面对不同区域的学生时，第一要做的是仔细研读教材与开展学情调研。 “鸡兔同笼”中的众多数学思想方法。其中，数形结合为用假设法解决鸡兔同笼问题提供了很好的表象支撑，所以它是学生利用假设法解决过程中进行理解的理想工具。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，大大开拓了我们的解题思路。教师如何应该根据不同年级学生的特点来合理地选择重点渗透的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，发展学生的思维能力和解决问题的能力，是值得进一步研究的问题。参考文献： 1 中华人民共和国教育部制定 数学课程标准（实验） 人民教育出版社 20032 J.L.MARTIN 著 王嵘等译:教与学的新方法数学，北京师范大学出版社2004年2月版。3 郑毓信著：国际视角下的小学数学教育，人民教育出版社2004年1月版。11希箭姑贝乖含磷崔硼庙端蓑莆檄摆厢任汽龚闲举坍蓝野偷骨仓壤绞黎囚粉巫您爱镣猖林陀吕哨快磕去叶汝胜晕括宽条地翔晶单庆专贷