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误差理论与数据处理综述摘要：误差存在的必然性和普遍性，已为实践所证明。通过对误差进行分析、处理可有效地减小或消除误差，从而提高测量水平，以便在最经济的条件下获得最理想的测量结果。本文首先介绍了误差分析的目的和意义，然后着重探讨了误差的产生原因、误差的消除方法。简要的说明了不确定度的概念。最后，归纳总结了数据处理的最小二乘法、静态数据的回归分析、动态测量误差处理等方法。关键词：误差分析；误差消除；不确定度；最小二乘法；回归分析；动态测量误差一、误差分析的目的和意义由于实验方法和实验设备的不完善，测量环境的影响，加之测量人员认识能力等因素的限制，测量和实验所得数据与客观真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。误差虽然可以减小，但是终究不能完全消除，可以说误差自始至终存在于一切科学实验和各种测量活动中。为了充分地认识进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中存在的误差进行分析和研究。误差作为计量学研究的一个重要分支，对推动测量科学的发展起到了积极的作用。误差分析的目的在于对生产实践和测量过程中的误差进行认真研究，进而减小或消除误差。研究误差的意义在于正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，进而减小或消除误差；科学地设计与组织实验过程，合理地使用测量仪器和测量方法，一边在最经济的条件下，得到可靠地测量结果；正确地处理测量结果和实验数据，合理地计算所得结果，以便在一定的条件下得到更接近于真值的数据。二、误差分析的基本概念2.1 误差的定义测量误差是测量结果与被测量真值之间的差异。测量误差一般表示为误差=测量值-真值真值是一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值，又成为理论值或定义值。它虽然在一定条件下是客观存在的，但要确切给出真值大小却十分困难。真值一般分为理论真值、计量学约定真值和相对真值三种。理论真值仅存在于纯理论中。如三角形内角和恒为180，一个整圆周角为360等。约定真值一般指由国家设立尽可能维持不变的实物标准或基准，以法令的形式指定其所体现的量值。如指定国际千克原器的质量为1Kg；光在真空中1/299 792 458 s的时间间隔内所行进路程的长度为1m等。相对真值指满足规定精确度要求的用来代替真值使用的量值。由于日常测量中，所有仪器不可能都与国家标准相比对，一般是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比，在每一级的比对中，都以上一级标准所体现的值作为近似值，有时也称为参考值或传递值。2.2 误差的分类按表示形式分类绝对误差绝对误差定义为绝对误差=测得值-真值绝对误差的特点是：特点： 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。 给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。在实际工作中，经常使用修正值。为消除系统误差，拥代数法加到测量结果中的值称为修正值。将测得值加上修正值之后可以得到近似的真值，即修正值=真值-测得值由此可得真值测得值+修正值 修正值与误差值的大小相等而符号相反。测得值加修正值后可在一定程度上消除该误差的影响，这就是误差的基本原理。但值得注意的是，由于在大多数情况下难以得到真值，修正值本身也存在误差，因此修正后只能得到较测得值更为准确的结果。在精密计量中，常常用加一个修正值的方法来保证量值的准确性。相对误差绝对误差与真值的比值所表示的误差大小称为相对误差。因测量值与真值相近，故也可近似用绝对误差与测量值的比值作为相对误差，即：相对误差=绝对误差真值绝对误差测量值相对误差是无名数，通常用百分数（%）来表示。对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。相对误差越小，测量精确度越高。引用误差对于有一定测量范围的测量仪器或仪表，以上所提到的绝对误差和相对误差都会随测量点的改变而改变，因此往往还采用其测量范围内的最大误差来表示该仪器仪表的误差，这就是引用误差。引用误差定义为在一个量程范围内的最大绝对误差与测量范围上限货满量程之比，即引用误差=最大绝对误差测量范围上限 根据国家标准GB776-76测量指示仪表通用技术条件规定，我国电工仪表的精确度等级就是按照引用误差来进行分级的。一般分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级，分别表示引用误差不超过的百分数。按性质分类随机误差随机误差也成为偶然误差，是在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。例如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的示值不稳定。随机误差是由许多不能掌握、不能控制、不能调节、更不能消除的微小因素所构成的。虽然产生随机误差的原因有很多，但主要可分为以下三个方面：测量装置方面的因素。零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等；测量环境方面的因素。温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等；测量人员方面的因素。瞄准、读数的不稳定等。可以通过以下几种方式来减小随机误差：测量前，找出并消除或减少产生随机误差的物理源；测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差；测量后，对采集的数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。如数据处理中常用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波方法来消除低频随机噪声等。系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时， 按一定规律变化的误差称为系统误差。 例如标准量值的不准确、 仪器刻度的不准确而引起的误差。.系统误差产生的原因：系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的，这些误差一般是可以掌握的。测量装置方面的因素。由于仪器设计制造方面的缺陷(例如尺子刻度偏大、表盘刻度不均匀等)，仪器安装、调整不当等因素产生的误差。测量方法方面的因素。测量所依据的理论和公式的近似性引起的误差，测量条件或测量方法不能满足理论公式所要求的条件等引起的误差。环境方面的因素。测量时实际温度与所要求的温度有偏差，测量过程中温度、湿度、气压等按一定规律变化的因素引起的误差。测量人员方面的因素。由于测量者本身的生理特点或固有习惯所引起的误差，例如某些人在进行动态测量记录某一信号时有滞后的倾向等。.发现系统误差的方法：在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们还难于查明所有的系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细的分析，这是一件困难而又复杂的工作，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，下面只介绍适用于发现某些系统误差常用的几种方法。发现系统误差的方法 组内实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差法组间t检验法F检验法 计算数据比较法 正态检验法秩和检验法. 系统误差的消除在实际测量中，如果判断出有系统误差存在，就必须进一步分析可能产生系统误差的因素，设法减小和消除系统误差。由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小和消除系统误差，而必须针对系统误差产生的原因采取相应的措施。消除误差源法：用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。加修正值法：这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。如量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可避免此项系统误差的产生。改进测量方法：在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消而不代入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称 “寄生误差”。此误差值较大，明显歪曲测量结果，如测量时对错了标志、读错或记错了数、使用有缺陷的仪器以及在测量时因操作不细心而引起的过失性误差等。.粗大误差的判断准则在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。通常用来判别粗大误差的准则有：3准则（莱以特准则）3准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数皆较少，因此3准则只是一个近似的准则。对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差，则根据随机误差的正态分布规律，其残余误差落在3以外的概率约为0.3%，即在370次测量中只有一次其残余误差，|Vi|3。如果在测量列中，发现有大于3的残余误差的测得值，即|Vi|3则可以认为它含有粗大误差，应予剔除。罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称t检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。设对某量作多次等精度独立测量，得x1，x2，xn。若认为测量值xd为可疑数据，将其预剔除后计算平均值为（计算时不包括xd) 为x=1n-1i=1,idnxi并求得测量列的标准差估计量（计算时不包括d=xd-x）=i=1nvi2n-2根据测量次数n和选取的显著度，即可由t分布的检验系数表得到t分布的检验系数Kn,。若有则数据xd含有粗大误差，应予剔除；否则，予以保留。.粗大误差的消除对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。2.3 不确定度不确定度是由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。表达方式有系统不确定度、随机不确定度、总不确定度。可按估值的不同方法把不确定度归并为A、B两类分量。前者是多次重复测量后，用统计方法计算出的标准误差；后者是用其他方法估计出的近似的“标准误差”。系统不确定度实质上就是系统误差限，常用未定系统误差可能不超过的界限或半区间宽度e来表示。随机不确定度实质上就是随机误差对应于置信概率1-a时的置信区限k（a为显著性水平）。当置信因子k1时，标准误差就是随机不确定度，此时的置信概率（按正态分布）为68.27%。总不确定度是由系统不确定度与随机不确定度按合成方差的方法合成而得的。它反映了测量结果中未能确定的量值的范围。不确定度是测量结果的测度，没有不确定度说明，测量结果将无从比较。综上所述，不确定度与误差有区别，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道；但不确定度反映误差存在分布范围，即随机误差分量和未定系统误差分量综合的分布范围，可由误差理论求得。总之，不确定度是未定误差的特征描述，而不是指具体的误差大小和符号，故不确定度不能用来修正测量结果。三、数据处理的方法3.1 数据处理的最小二乘法最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。人们采用这一方法可以妥善解决参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析等一系列数据处理问题。按照处理的具体方法不同，可将最小二乘法区别为经典最小二乘法(即代数法)和矩阵最小二乘法。最小二乘法的基本原理可以表述为，测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和(在不等精度测量的情形中应为加权残余误差平方和)为最小的条件下给出。最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信赖性。最小二乘法既可以用于线性参数的处理，也可用于非线性参数的处理。在一般情况下，实际测量工作中多数是属于线性最小二乘法的问题，而非线性参数的问题可借助于级数展开的方法在某一区域近似地化成线性的形式来处理。3.2 静态数据的处理方法在静态测量过程中，经常会遇到这样的情况，即测量的目的不是获取被测量的估计值，而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。表达变量之间关系的方法有很多种，其中数学表达式能够客观地反映事物的内在规律，而且便于从理论上作进一步研究。实现数学表达式的放方法是回归分析。回归分析是处理变量间相关关系的数理统计方法。相关变量间既有相互依赖性，又有某种不确定性。回归分析就是通过对一定数量的观测数据进行统计处理，以找出变量间相互依赖的统计规律。在测试技术的研究中，常需要拟合实验曲线、确定经验公式等，回归分析是处理这类问题不可缺少的方法。通常，回归分析法包括以下3个步骤：(1)确定经验公式的形式，即函数类型；(2)求经验公式的系数，即回归参数；(3)研究经验公式的可信赖程度。回归分析法有很广泛的用途，工农业生产和科研工作中的不少问题都可以用这种方法得到解决。例如，新产品的试制、零部件的质量分析、工艺因素的分析和控制、新标准的制定，气象预报，系统工程中的预测和规划等。回归分析法往往是一种有效的工具。直线回归直线回归(Linear Regression)是用直线回归方程表示两个数量变量间依存关系的统计分析方法，属双变量分析的范畴。如果某一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且它们的变化在直角坐标系中呈直线趋势，就可以用一个直线方程来定量地描述它们之间的数量依存关系，这就是直线回归分析。直线回归分析中两个变量的地位不同，其中一个变量是依赖另一个变量而变化的，因此分别称为因变量(Dependent Variable)和自变量(Independent Variable)，习惯上分别用y和x来表示。其中x可以是规律变化的或人为选定的一些数值(非随机变量)，也可以是随机变量，前者称为I型回归，后者称为II型回归。用Microsoft Excel中的添加趋势线可以很容易地进行线性回归，并显示回归方程和R2。曲线回归在实际问题中，变量之间常常不是直线关系。这时，通常是选配一条比较接近的曲线，通过变量变换把非线性方程加以线性化，然后对线性方程应用最小二乘法求解回归方程，这就是曲线回归。最小二乘法的一个前提条件是函数的具体形式已知。函数具体形式的确定一般有下述两个途径：一是根据有关的物理知识，确定两个变量之间的函数类型。二是把观测数据画在人材纸上，将散点图与已知函数曲线对比，选取最接近散点分布的曲线分式进行试算。多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。 多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。Microsoft Excel是一个广为普及的电子表格软件， 具有强大的数据处理和统计分析能力。 因其界面友好、 操作简单、 易学易用受到广大使用者的欢迎。合理利用其自动填充功能、公式函数功能即数据分析功能等，则能简便、快捷、准确地完成观测数据的多元线性回归分析。3.3 动态数据的处理方法随着科学技术的发展，特别是电子技术、自动控制、计算技术和电子计算机的飞速发展，动态测量在科学研究和生产实践中的应用也越来越广泛。在机械制造业中，例如用各种动态测量仪检测丝杠、齿轮等典型零件和一些形位参数，以及零件在加工过程中的某些自动检测和振动、速度等动力参数的实时测量，都属动态测量的范畴。动态测量是在静态测量的基础上发展起来的，两者有不少共性和相似之处，但又有很大的本质性的差异。动态测量复杂得多。测量对象是随时间(或空间)而连续变化的动态量值。其原始的单次测量结果是一具体函数或记录曲线(静态测量为一具体数值)，而多次重复的测量结果，是由一组具体函数体现的随机函数(一般是以时间，为自变量)，也叫做随机过程(静态测量是由一组具体数值体现的随机变量)。动态测量系统在显示测量结果的过程中，它本身也是处于连续变化的运动状态。基于上述，可以这样看，静态测量是动态测量的一种特例。和静态测量一样，动态测量数据处理的主要目的，也是要对测得数据进行合理处理，以求能精确而可靠地给出测量结果，并对测量误差进行估算和评定。随机过程的基本概念动态测量中，对于自变量（时间或空间）的每个给定值，因变量是一个随机变量，即重复多次测量，会得到完全不