空间向量练习题.doc

7空间向量在立体几何中的应用【知识梳理】1、已知直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则（1） ；（2） ；（3）若直线的夹角为，则 ；（4） ；（5） ；（6）若直线与面的成角为，则 ；（7） ；（8） ；（9）若成二面角的平面角为，则 。2、（1）三余弦定理： ；（2）三垂线定理（及逆定理）： ；（3）二面角的平面角定义（范围）： ；【小试牛刀】1、A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )A.1 B.2 C.3 D.42、向量a(1，2，-2)，b(-2，-4，4)，则a与b( )A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对3.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+c B.a+b+cC.ab+c D.ab+c4.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A. B.C. D.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于A. B. C. D.6.若，与的夹角为，则的值为A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.17.设，则线段的中点到点的距离为A. B. C. D.8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD平面CB1D1 B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为609.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A. B. C. D.10.ABC的三个顶点分别是，则AC边上的高BD长为A.5 B. C.4 D.11.设，且，则 .12.已知向量，且，则=_.13.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 14.如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为 .15、已知，求值.16如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值（3）求证：A1BC1M.17.如图，在四面体中，点分别是的中点求证：（1）直线面；（2）平面面18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体的对角线上，PDA=60.（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小参考答案1、C 2、C3.=c+(a+b)=a+b+c，故选A.4.故选D.5.,故选B.6.B 7.B 8.D 9.D10.由于，所以,故选A11.9 12.313.作ACx轴于C，BDx轴于D，则14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，取得，到平面PAD的距离.15、解：由，又即由有：16、如图，建立空间直角坐标系Oxyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）图| |=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，=3，|=，|=cos=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.=+0=0，A1BC1M.17.证明：（1）E,F分别是的中点，EF是ABD的中位线，EFAD，AD面ACD，EF面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC，BD面BCD，面面.18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由，可得ABCDPxyzH解得，所以（1）因为，所以，即与所成的角为（2）平面的一个法向量是因为，所以，可得与平面所成的角为19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2.(2)不论点E在何位置，都有BDAE证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC 不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE(3)解法1：在平面DAE内过点D作DGAE于G，连结BGCD=CB,EC=EC，ED=EBAD=AB，EDAEBA，BGEA为二面角DEAB的平面角BCDE，ADBC，ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=，二面角DAEB的大