高中数学 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5

第2课时余弦定理 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 即若a b c分别是 ABC的顶点A B C所对的边长 则a2 b2 c2 b2 c2 2bccosA a2 c2 2accosB a2 b2 2abcosC 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系 它的另一种表达形式是须知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 A为钝角 A为直角 A为锐角 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量 它们分别是三角形的三边和一个角 知道其中的三个量 代入等式 便可求出第四个量来 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题 1 已知三边 求 2 已知两边和它们的夹角 求 各角 第三边和其他两个角 1 在 ABC中 AB 5 BC 6 AC 8 则 ABC的形状是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 非钝角三角形解析 因为AB2 BC2 AC2 52 62 82 0 AC边所对角B为钝角 故选C 答案 C 答案 B 3 在 ABC中 已知b 1 c 3 A 60 则a 4 在 ABC中 若 a b 2 c2 ab 则角C等于 解析 a b 2 c2 ab c2 a2 b2 ab 又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 2abcosC 2cosC 1 cosC C 120 答案 120 例1 在 ABC中 已知a 2 b 2 C 15 求角A B和边c的值 分析 由条件知C为边a b的夹角 故应由余弦定理来求c的值 点评 本题求出c后 用正弦定理求角A 需要讨论确定A的值 而求出c后 再用余弦定理求角A 可以避免讨论 例2 在 ABC中 已知 b c c a a b 4 5 6 求 ABC的最大内角的正弦值 分析 本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质 要求出最大内角的正弦值 须先确定哪条边最大 同时表达出边a b c的长 然后应用余弦定理先求出余弦值 再求正弦值 点评 本题中比例系数k的引入是解题的关键 迁移变式2在 ABC中 已知a 7 b 3 c 5 求最大角和sinC 例3 在 ABC中 若b2sin2C c2sin2B 2bccosBcosC 试判断三角形的形状 分析 由题目可获取以下主要信息 边角之间的关系 b2sin2C c2sin2B 2bccosBcosC 确定三角形的形状 解答本题先由正弦定理将边转化为角 然后由三角恒等式进行化简 得出结论 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系 然后由边的关系确定三角形形状 则条件转化为4R2 sin2C sin2B 4R2 sin2C sin2B 8R2 sinB sinC cosB cosC 又sinB sinC 0 sinB sinC cosB cosC 即cos B C 0 又0 B C 180 B C 90 A 90 故 ABC为直角三角形 点评 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考 可用正 余弦定理将已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等方式得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 也可利用正 余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系 通过三角变换 得出三角形各内角之间的关系 从而判断三角形形状 迁移变式3在 ABC中 a b c b c a 3bc 且sinA 2sinBcosC 试确定 ABC的形状 解 由于 a b c b c a 3bc 所以a2 b2 c2 bc 又由余弦定理有a2 b2 c2 2bccosA 又 sinA sin B C sinBcosC cosBsinC且sinA 2sinBcosC sinBcosC cosBsinC 即sin B C 0 B C 又B C 120 B C 60 故 ABC为等边三角形 例4 在 ABC中 C 2A a c 10 cosA 求b 点评 1 本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a c 再利用余弦定理求出b的值 通过正 余弦定理的完美结合求得结果 2 正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系 要解三角形 必须已知三角形的一边的长 对于两个定理 根据实际情况可以选择地运用 也可以综合地运用 要注意以下关系式的运用 迁移变式4在 ABC中 已知A B C 且A 2C b 4 a c 8 求a c的长 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角 请注意 1 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 是解三角形的重要工具 2 余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 3 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 4 运用余弦定理时 因为已知三边求角 或已知两边及夹角