多项式的整除问题.doc

数学系数学与应用数学10级年论文浅谈多项式的整除问题摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法Discusses the multinomial shallowly the aliquot questionAbstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论1；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法.1.利用单位根及因式定理此方法的关键是熟练掌握因式定理2和单位根的性质.例1 证明（m , n , p 是三个任意的正整数）.证明 可求得的根为，所以又因 ，知,从而设则有故由因式定理知，即.2.利用熟知的乘法公式此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如：3 等）理解公式包涵的整除意义，再去解题.例2 证明整除当且仅当整除.证明 充分性 设，假定，则有从而有必要性 已知，假定，则有充分性的证明之，从而有得.因为，所以必有，即，故得.3.利用整除的判别定理利用这种方法解题的关键是把整除转化为带余除法中所得余式为零.对于多项式，且，则的充要条件是除的余式.4例3 确定，的值，使. 令 可得：，解得：，4.利用不可约多项式的性质利用这种方法求解问题的关键是熟知不可约多项式的性质.例4 证明：次数且首项系数为1的多项式是一个不可约多项式的方幂的充要条件为：对任意的多项式必有，或者对某一正整数，.证明 必要性设，其中是不可约多项式，则对于任意多项式，有或.当时，有；而当时，有，即.充分性 设，其中，不可约，且不是的因式，.取，则；且对于任意正整数，不能整除，这是因为，若，则由得，又由不可约得，与假设矛盾.故必为一不可约多项式的方幂.5.利用待定系数法此方法关键是利用两边多项式的各系数相等来求解.例5求出除以的商式和余式并把结果写成一个整式与分式的和的形式.解 设除以的商式为，余式为，则 ，。解得 ，即所求商式为，余式为.6.利用最大公因式的性质利用这种方法求解问题的关键是深刻理解最大公因式的概念及性质.例6 设，。证明：若，且和不全为零，则；反之，若，则是与的一个最大公因式.证明 因为，故存在，使得 即由于，不全为零，故，两边消去得：即反之，,知是，的公因式，因，故存在，使两边乘以得若是，的任一公因式，则有，从而是，的一个最大公因式7.利用互素的性质此方法关键在于熟练的掌握互素多项式的性质，并灵活应用.例7 证明的充要条件是. 证明 充分性显然,现证 必要性.若，那么.如果，不全为零，令，则，且.那么，故由，可得，故，又，根据互素多项式的性质知，从而（常数）.于是，8.利用余数定理此方法关键在于熟知余数定理5的概念且灵活应用.例8 证明如果，那么.证明 因为，所以1是的根，于是，故存在多项式，使得：，从而有，此即.9.利用矩阵判别法此方法关键在于求出多项式系数所构成的行列式的秩相等.定理：多项式整除的充要条件是秩秩.6例9 设,求,满足什么条件时整除.解 令， 对作初等列变换根据定理有整除,秩秩,解得 当，时，整除.以上是我总结的多项式整除的九种判别方法.但这些方法都是建立在多项式整除的基本性质上，故我们必须熟练的掌握这些基本性质，才能灵活运用这些方法来处理多项式的整除问题.参考文献 1 徐利治.现代数学手则经典数学卷M.武汉:华中科技大学出版社,2000:120-1242 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数M.北京:高等教育出版社(第5版),2007:31-553 赵云.高等代数思想方法和疑难解析M.兰州:甘肃民族出版社(第1版),2008:44 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数M.北京:高等教育出版社(第3