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导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题,但它常考常新,学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性,灵活多样性,多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性,而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此,只要我们深入去探索,总有方法规律可循,总会有“拨得云开见日出”的时刻!放缩法的合理运用,往往能起到事半功倍的效果,有时能令人拍案叫绝;但其缺点也是显而易见,如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”,容易造成不能同向传递,即放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及,所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角度1 构造函数命题角度2 放缩法命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路命题角度5 函数凹凸性的应用在求解过程中,力求“脑中有形,心中有数”.依托端点效应,缩小范围,借助数形结合,寻找临界.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】(皖南八校2018届高三第三次联考)若均为任意实数,且,则的最小值为 1【解析】由于均为任意实数,且,所以动点到定点的距离为定值1,亦即动点的轨迹是以为圆心,半径的圆,又表示与动点的距离,而的轨迹是曲线, 根据平方和的结构特征,联想距离公式如图,当且仅当共线,且点在线段上时取等号,11以为圆心作半径为的圆与相切,切点是,此时的公切线与半径垂直,即,结合函数与的图象可知,所以,故的最小值为.正确答案为D.【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征,结合多元各自变化的规律,转化为多个动点之间的对应关系,进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】(2018年湖北省高三4月调考)设,其中,则的最小值为 【解析】由于表示点与点之间的距离,而点的轨迹是曲线,点的轨迹是曲线,如图所示,FH又点到直线的距离为,自然想到转化为动点到抛物线准线的距离,结合抛物线的概念可得 ,所以,当且仅当共线,又以为圆心作半径为的圆与相切,切点是,此时的公切线与半径垂直,即,所以,故.正确答案为C.【能力提升】(201
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