二项式系数性质58258

美丽的校园 10 4二项式定理 二项式系数的性质 1 2 复习回顾 二项式定理及展开式 1 3 二项式系数的性质 二项式系数表 详解九章算法 记载的表 杨辉三角 杨辉 以上二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 在 详解九章算法 一书里 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 1623 1662 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 a 表中每行两端都是1 b 除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和 4 6 10 当n不大时 可用该表来求二项式系数 二项式系数的性质 二项式系数的性质 对称 函数定义 如果A B都是非空数集 那A到B的映射f A B就叫做A到B的函数 可看成是集合 0 1 n 到二项式系数的集合 的映射 对于二项式系数 r与之间也有对应关系 即 r012 r n 二项式系数与函数 从映射 函数的观点看 二项式系数可以看作是一个定义域为 0 1 2 n 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 即 r是自变量 二项式系数是函数值 组合数公式就是相应函数的解析式 1 2 3 二 项 式 二项式系数与函数 当n 6时 二项式系数 0 r 6 用图象表示 1 3 n 1 2 3 2 2n 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 1 对称性 2 增减性与最大值 先增后减 关于r 3对称 r 3时取得最大值 f r n为奇数 如n 7 3 n为偶数 如n 6 关于r n 2对称 r 3和r 4时取得最大值 二项式系数的性质 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 性质1 对称性 性质2 增减性与最大值 先增后减 当n是偶数时 中间的一项的二项式系数取得最大值 当n是奇数时 中间的两项二项式系数和相等 且同时取得最大值 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性知它的后半部是逐渐减小的 且在中间取得最大值 当n是偶数时 中间的一项取得最大时 当n是奇数时 中间的两项 相等 且同时取得最大值 因而 2 增减性与最大值 性质3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 2n 令x 1 令x 1 0 1 在 a b 20展开式中 与第五项二项式系数相同的项是 C 课堂练习 A 第6项B 第7项C 第6项和第7项D 第5项和第7项 C A 第15项B 第16项C 第17项D 第18项 2 在 a b 11展开式中 二项式系数最大的项 3 已知展开式中只有第10项二项式系数最大 则n 18 证明 就是 上述证明过程中用到了什么方法 例题讲解 变式练习 则 简解 2 1094 1093 1 2 3 n 1 2 3 注意 求解二项式系数和时 灵活运用赋值法可以使问题简单化 通常