学生--椭圆.doc

2.2 椭圆1、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长 长轴的长焦点、焦距，a最大对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率准线方程2、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则。3、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。2.1 椭圆的定义椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意1：2.2 椭圆的标准方程这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： 注意2：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；1. 已知方程表示椭圆，求的取值范围（3）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（4）椭圆的焦点总在长轴上.如果的分母大，焦点就在轴上，如果的分母大，焦点就在轴上。当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为 ；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为 。注意3：方程均不为零，且表示椭圆的条件为：方程可化为 。所以，只有 ，且 时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在轴上，当 时，椭圆的焦点在轴上。2.3 椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）范围：该性质主要用于求最值、求轨迹检验等问题。（2）对称性：对于椭圆标准方程：说明：2已知点(3,2)在椭圆1上，则()A点(3，2)不在椭圆上 B点(3，2)不在椭圆上C点(3,2)在椭圆上 D无法判断点(3，2)、(3，2)、(3,2)是否在椭圆上（3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 。 如图，在中，。这是椭圆的特征三角形，并且 的值是椭圆的离心率。（4）长轴、短轴线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴， 。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。注意4：椭圆标准方程中的三个量的几何意义。 椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关， 。3. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程（5）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 离心率的变化反映了椭圆的圆扁程度。因为，所以的取值范围是。当越接近1， ；反之，越接近于0， 。 当且仅当时， 。 椭圆的圆扁程度由离心率的大小决定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关。 椭圆离心率的求法：直接法、定义法、方程组法等。4椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A. B. C. D. 5椭圆1和k(k0)具有()A相同的长轴B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的离心率6以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于()A. B. C. D.7若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是()A. B. C. D.8已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.9如图，在椭圆中，若ABBF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e_.10椭圆1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为_11椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围_12已知椭圆mx25y25m的离心率为e，求m的值13. 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率14. 已知椭圆的离心率，求的值（6）通径过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长为 。15经过椭圆1(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为_（7）对椭圆性质的延伸椭圆上到中心距离最远的点和最近的点设为椭圆上任意的点，则 ， 椭圆上一点与焦点的距离的最值问题设为椭圆上任意的点，为点与椭圆左焦点的距离，则有（8）共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。16椭圆1与1(0kb0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率e，求椭圆的方程23. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程24. 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值25. 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程26. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹27. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程2.6 椭圆的两种定义的理解和运用（1）椭圆的第一定义：平面上到两定点的距离等于定长的点的轨迹是椭圆。（2）椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数。当时，点的轨迹是椭圆。（3）椭圆的第二定义揭示了椭圆上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离的关系。（4）一般地，如果遇到有动点和两定点距离问题，自然联想到第一定义；如果遇到有动点到一个定点及定直线距离问题自然想到椭圆的第二定义。28. 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标 29动点M到一个定点F(c,0)的距离和它到一条定直线l：x的距离比是常数e(0e1)，求动点M的轨迹方程30. 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离31. 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，32. 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2)求的最小值及对应的点的坐标 注意6：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）； ；（2）；（3）；2.7 椭圆离心率的理解及运用（1）离心率，因为，用表示为 。所以离心率实质是给出了的比值。长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。（2）另一方面，而，因而可以转化到中，把解析几何问题与三角函数联系起来，用三角函数知识解决几何问题。其中为焦点三角形。2.8 直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆有三种位置关系：当直线与椭圆有两个交点，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆有一个交点，称直线与椭圆相切：当直线与椭圆没有交点，称直线与椭圆相离。（2）判断直线与椭圆的位置关系： 联立方程组； 消元，转化为一元二次方程； 计算。当，直线与椭圆有两个交点，相交；当，直线与椭圆有一个交点，相切；当时，直线与椭圆没有交点，相离。（3）当直线与椭圆相交于两点，则 。 其中涉及等值，运用韦达定理来解决。若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则 ，若分别为A、B的纵坐标，则 。33 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程34. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长（4）直线与椭圆相交于两点，则称线段为椭圆的相交弦。与这个弦的中点有关的轨迹问题时综合性很强的题目，因而解决此类问题很重要。“设而不求”：其主要要点是巧代线段的斜率。其方法是将的坐标带入椭圆方程，即，-得，。为弦的中点，从而转化为中点与直线斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹常用方法，称为“点差法”。35. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程36. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 37. 椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率38. 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由39.