浙江高考数学复习专题五函数与导数、不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程学案.docx

第1讲函数图象与性质及函数与方程高考定位1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式真 题 感 悟 1(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析因为最值在f(0)b，f(1)1ab，f b中取，所以最值之差一定与b无关，但与a有关，故选B.答案B2(2017山东卷)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4 C6 D8解析由已知得a0，a11.f(a)f(a1)，2(a11)，解得a，f f(4)2(41)6.答案C3(2017全国卷)已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2 B1，1 C0，4 D1，3解析因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)1，于是1f(x2)1等价于f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.答案D4(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()解析设f(x)2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)0，所以sin 2x0，所以2xk(kZ)，所以x(kZ)，故排除选项C.故选D.答案D5(2018浙江卷)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_解析若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2.综上可知1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知14. 答案(1，4)(1，3(4，)考 点 整 合1函数的性质(1)单调性用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性常见判定方法：()定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；()图象法；()复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；()导数法(2)奇偶性：若f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)；若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0；奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有若yf(x)对xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则yf(x)是周期为2a的周期函数；若yf(x)是偶函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；若yf(x)是奇函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；若f(xa)f(x)，则yf(x)是周期为2|a|的周期函数2函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究3求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等4函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.热点一函数性质的应用【例1】 (1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50(2)(2018天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab解析(1)法一f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C.法二由题意可设f(x)2sin，作出f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2，故选C.(2)法一因为alog2e1，bln 2(0，1)，cloglog23log2ea1，所以cab，故选D.法二loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知cab，故选D.答案(1)C(2)D探究提高(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴)【训练1】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab.答案(1)6(2)C热点二函数图象的问题考法1函数图象的识别【例21】 (1)函数y1x的部分图象大致为()(2)函数f(x)sin x的大致图象为()解析(1)法一易知g(x)x为奇函数，其图象关于原点对称所以y1x的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足法二当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C.又当x时，y，B项不满足，D满足(2)由y1x为奇函数，y2sin x为奇函数，可得函数f(x)sin x为偶函数，因此排除C、D.又当x时，y10，y20，f 0，因此选B.答案(1)D(2)B探究提高(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系(2)识图：从图象与x轴的交点及值域、单调性、变化趋势、对称性、特殊值等方面找准解析式与图象的对应关系考法2函数图象的应用【例22】 (1)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则实数a的取值范围是()A(，0 B(，1)C2，1 D2，0(2)(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1，0) B0，)C1，) D1，)解析(1)函数y|f(x)|的图象如图yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)相切的情况，即y2x2，切点为(0，0)，此时a2022，即有2a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_解析(1)f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.(2)当x0时，由x22axaax，得ax2ax；当x0时，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作出ya(x0)，y2a(x0)的图象，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知，若f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a2a，解得4a8.答案(1)C(2)(4，8)探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解【训练3】 (1)(2017宁波模拟)若方程ln(x1)x2xa在区间0，2上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. Bln 21，ln 31)Cln 21，ln 2 D.(2)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.解析(1)令f(x)ln(x1)x2xa，则f(x)2x.当x0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，2时，f(x)0，f(x)单调递减由于方程ln(x1)x2xa在区间0，2上有两个不同的实数根，即f(x)0在区间0，2上有两个不同的实数根，其充要条件为解得ln 31aln 2.所以方程ln(x1)x2xa在区间0，2上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.(2)函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可知，当b2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，故函数yf(x)g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.答案(1)A(2)D1解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)的定义域时，只考虑x0，忽视ln x0的限制2如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.3三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小4三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状5求函数零点时，若对于给定的函数不能直接求解或画出图形，则常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1(2017全国卷)函数y的部分图象大致为()解析令f(x)，定义域为x|x2k，kZ，又f(x)f(x)，f(x)在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确又f 0，f()0，f bc BbacCcba Dcab解析log log3151log35，因为函数ylog3x为增函数，所以log35log3 log331，因为函数y为减函数，所以ab.故选D.答案D3设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0，1)上是增函数B奇函数，且在(0，1)上是减函数C偶函数，且在(0，1)上是增函数D偶函数，且在(0，1)上是减函数解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.答案A4(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x) Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数f(x)ln x的图象上，所以yln(2x)故选B.法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数yln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.答案B5.已知二次函数f(x)x2bxa的部分图象如图所示，则函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是()A(1，0) B(0，1)C(1，2) D(2，3)解析由函数f(x)的图象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.答案B6(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()解析当x0时，因为exex0，所以此时f(x)2，故排除C，选B.答案B二、填空题7(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_解析由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln1ln(a)1312.答案28(2016浙江卷)已知ab1.若loga blogb a，abba，则a_，b_解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此ab(b2)bb2bba，a2b，b22b，又b1，解得b2，a4.答案429已知函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_解析根据x表示的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.答案10(2018上海二模)设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解析(1)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1，1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，无零点因此a2满足题意当f(x)2xa，x1有一个零点时， 0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，此时a1, 2a1，因此a0时，f(x)|x|恒成立等价转化为x22x2ax恒成立，即a恒成立，所以a.综上，a的取值范围是.答案12(2017金丽衢联考)已知函数f(x)(e为自然对数的底数)，则f(e)_，函数yf(f(x)1的零点个数为_解析f(e)ln e1；函数yf(f(x)1的零点个数为方程f(f(x)1的根的个数，则由ln x1(x1)，得xe，于是f(x)e，则由ln xe(x1)，得xee；或由ef(|x|1)e(x1)，得f(|x|1)1，所以ln(|x|1)1，解得xe1(舍去)或x1e；由ef(|x|1)1(x1)，得f(|x|1)0，所以ln(|x|1)0，解得x0，所以f(x)0，只有ln x0(x1)，解得x1.综上可知函数yf