绝对值三角不等式.ppt

绝对值三角不等式 1 绝对值的几何意义 如 3 或 3 表示数 3 3所对应的点A或点B到坐标原点的距离 探究新知 即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3 探究新知 绝对值的几何意义 同理 与原点距离大于3的点对应的实数可表示为 探究新知 设a b是任意两个实数 那么 a b 的几何意义是什么 探究新知 如果用恰当的方法在数轴上把 a b a b 表示出来 定理1如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 探究新知 如果把定理1中的实数a b分别换为向量 能得出 1 当不共线时有 2 当共线且同向时有 探究新知 探究新知 a b a b a b 这个不等式俗称 三角不等式 三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 绝对值三角不等式 求证 a b a b a b 定理的证明 探究新知 定理2 如果a b c是实数 那么 探究新知 典例讲评 例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工 这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 要使两个施工队每天往返的路程之和最小 生活区应该建于何处 典例讲评 解 如果生活区建于公路路碑的第xkm处 两施工队每天往返的路程之和为S x km 那么S x 2 x 10 x 20 典例讲评 答 生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件 典例讲评 证明 典例讲评 典例讲评 例5求证 证明 在时 显然成立 当时 左边 典例讲评 思考感悟如何理解 a b a b a b 的几何意义 提示 三角形任意两边之差小于第三边 三角形任意两边之和大于第三边 课堂互动讲练 1 设xy x y B x y x y C x y x y D x y x y 思路点拨 1 由于xy 0 x y异号 利用 a b a b a b 判定 2 题易判定m n与1的大小关系 解析 1 法一 特殊值法 取x 1 y 2 则满足xy 2 x y 选项C成立 A B D不成立 答案 1 C 2 m n 名师点评 绝对值不等式性质的重要作用在于放缩 放缩的思路主要有两种 分子不变 分母变小 则分数值变大 分子变大 分母不变 则分数值也变大 注意放缩后等号是否还能成立 变式训练102B log 1 a 1 a log 1 a 1 a log 1 a 1 a 思路点拨 根据所证结论 对 xy ab 进行凑配 凑出已知的 x a y b 来 名师点评 含绝对值不等式的证明题主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值号转化为常见的不等式证明题 或利用不等式的性质 a b a b a b 证明不等式 常要对绝对值内的式子进行分析组合 添项减项 使待证式与已知之间联系起来 最后通过绝对值的运算完成证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值不等式 这时 往往可考虑利用一般情况成立 则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程根的分布方法来证明 已知a b c是实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1时 f x 1 1 证明 c 1 2 证明 当 1 x 1时 g x 2 思路点拨 对于 1 用一般到特殊的思想 即c f 0 对于 2 分a 0 a 0 a 0根据函数的单调性讨论 证明 1 由条件当 1 x 1时 f x 1 取x 0 得 c f 0 1 即 c 1 2 当a 0时 g x ax b在 1 1 上是增函数 g 1 g x g 1 f x 1 1 x 1 c 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 由此得 g x 2 当a 0时 g x ax b在 1 1 上是减函数 g 1 g x g 1 f x 1 1 x 1 c 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 由此得 g x 2 当a 0时 g x b f x bx c 1 x 1 g x f 1 c f 1 c 2 综上 得 g x 2 名师点评 本题利用函数的单调性 结合最值或值域 求绝对值的取值 变式训练3设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 证明 f x f a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a