公务员考试难点：十字相乘与时钟问题.doc

- 5 -十字相乘法解数学题十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （ A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。1（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90，运动员中男占80，在教练员和运动员中男占82，教练员与运动员人数之比是 A2：5 B1：3 C1：4 D1：5 答案：C 分析： 男教练： 90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元， 每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A21 B32 C. 23 D12 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资 ：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3 （2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（ ）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 答案A 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30A 60 B 65 C 70 D 75 5（2007年国考）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是： A 84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A 分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。 男生：Y 9 75 女生：X 5 根据十字相乘法原理可以知道 X=84 6. （2007年国考）某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有： A 3920 人 B 4410 人 C 4900人 D 5490 人 答案：C 分析：去年毕业生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。 本科生：-2% 8% 2% 研究生：10% 4% 本科生：研究生=8%：4%=2：1。 7500*（2/3）=5000 5000*0.98=4900 7 资料分析： 根据所给文字资料回答121-125题。 2006年5月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2亿元，创今年历史第二高。据统计，1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5。 汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5月份，全市机动车类销售量为5.4万辆，同比增长23.9。据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3亿元， 占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3。 据对限额以上批发零售贸易企业统计，5月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50。其中，家具类商品零售额同比增长27.3，建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8。同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6。 121北京市2006年5月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消费品零售总额的百分比约为： A50.5 B58.5 C66.5 D74.5 答案:B 分析:（32.3/20.3%）/272.2。结果和160/270相当。接近60%。所以选B。 122若保持同比增长不变，预计北京市2007年前5个月平均每月的社会消费品零售额： A将接近255亿元 B将接近280亿元 C将接近300亿元 D将突破300亿元 答案:C 分析: （1312.5/5）*（1+12.5%）。12.5%=1/8。（1312.5*9）/40接近300。 1232006年5月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装潢材料类商品零售额的比例是： A27.4 B29.9 C32.2 D34.6 答案:A 分析:两种方法。 法一：比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X。 X*（1+27.3%）+（1-X）*（1+60.8%）=1+50% X=32.2%。 32.2%*（1+27.3%）/ 32.2%*（1+27.3%）+（1-32.2%）*（1+60.8%0）=27.4% 整个过程计算下来，至少5分钟。 法二： 十字相乘法原理.最快. 家具 27.3%，近似为27%； 建筑60.8%，近似为61%。 家具： 27% 11% 50% 建筑： 61% 23% 家具：建筑=11%：23% 大约等于1：2。 注意这是2006年4月份的比例。 建筑类2006年所占比例为：1*（1+27.3%）/1*（1+27.3%）+2*（1+60.8%）=1.27/（1.27+3.2）=1.27/4.5=28%。和A最接近。124下列说法正确的是： I2006年1-5月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长125 2006年5月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快 2005年，北京市机动车类销售量约为4.36万辆 A仅 B仅 C和 D和 答案:C 分析: 1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5。说的是累计增长。因此错。正确，文中直接找答案。5.4/（1+23.9%）约等于4.36。 125下列说法肯定正确的是： A2006年前5个月中，5月份的社会消费品零售额最高 B2006年5月，几类商品的零售额都比前4个月高 C2006年5月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前4个月都高 D至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5 答案:D 分析: 1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5，而5月份各类零售增长率都超过了12.5%。因此可以肯定，至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5。时钟问题 时钟问题经典例题详解 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直？8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟；另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。1.时针与分针分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 / 11/12 分钟的时间。例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格 例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。3.时针与秒针时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。 例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次? 析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。4.成角度问题例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*4541.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/606度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。 5.相遇问题 例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？ 析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。 例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？ 析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。 时钟问题详细讲解一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？（2006国家考题）A、10 B、11 C、12 D、13 答案B2、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？A、60 B、59 C、61 D、62 答案B讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！给大家介绍我认为网友比较经典的解法：考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，那么秒针的速度就是60格/秒，设追上的时候路程是S，时间是t，方程为(1+60)tS 即61tS，中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即S的范围是0S3600，那么t的范围就是0t3600/61,即0t59.02，因为t只能取整数，所以t为159，也就是他们相遇59次。第1题跟这个思路是一样的，大家可以算算！给大家一个公式吧 61TS （S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）如第1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720格T(max)=720/61.8，取整数就是11。1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？A、10 B、11 C、12 D、13 考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12格/分 分针的速度是:1格/分. 追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分 从12点到12点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11 次二、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你：设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。1.【30X5.5Y】或是360【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）变式与应用2.【30X5.5Y】=A或是360【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个的公式。3.由变式2.可以变为30(X-Y/5)Y/60=A或30（X+12)-Y/5Y/60=A说明变式3.实质上完全等同变式2.例题32000年国家考题某时刻钟表时间在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时刻正好方向相反且在一条直线上，则从时刻为（）A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出30105.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本题最接近A.(说明此国考题不够严谨！）胡伟东见解：上面解法不严紧30*10-5.5y-9*0.5=180（不懂的慢慢理解）思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一条直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在3点附近（相对时针而言），运用排除法选A 知识网络 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。 时钟盘面被等分为12个大格，那么每个大格之间的夹角为36012=30。每个大格又被分成5个小格，每个小格之间的夹角为305=6。在钟表上时针与分针是同时运动的，它们的关系是：时针走1小时转过30，分针转过360，恰为一个圆周。 重点难点 在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题的扩展和延伸。因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。 学法指导 解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。经典例题例1 如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？将时钟盘面分成12个分格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时钟转过的角度。时针走60分钟转过36012=30，那么走45分钟，转过 。而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。 解 答 点 津或用变式2. 360-（3015.545）142.5（思考为什么用360来减，当然在考题中选择题答案是唯一的好办！）对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例1的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结论：在1点45分时，两针夹角：，那么在a点b分时，两针夹角：，为了避免ab5（分针在时针后），则a采用12时计时法。如果所求的角度是大于180的，那么需与360求差后求出的值为最后结果。例2 从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？ 思路剖析 时针与分针直线也就是说两针的夹角为180。从5时整开始时，时针在一个小时之内从5运转到6，分针从12开始在一个小时之内会旋转360，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图2中易知此时刻必然落在11与12之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1正好是个相反的过程。我们仍可按照例1得出的规律求解。当两针成直线时，时间为5点几分，那么a=5，由于分针位置在11至12之间，则b55，那么b511，a11，而a=56，而a=6b5，可采用12时计时法，设从8时整开始，经过b1分后，时针与分针第一次垂直，夹角为90。得方程：（2）时针在分针后，a=8，ab5，可采用24时计时法，设从8时整开始，经过b2分后，时针与分针第二次垂直，夹角为2700。得方程： 由于求得b2=60分，那么经过60分钟，即在9点钟时，两针第二次垂直。但题意要求是在8点几分时垂直，所以此种情况可舍。答：在8小时27 （3/11）点分时，时针与分针垂直。例5 如图5所示的时间是8点20分差一些。如果时针和分针同6的距离正好相等，试问是几点几分？思路剖析 由于时针和分针同6的距离正好相等，从图中可知，时针和分针与6的距离都是两个大格再加上部分大格。注意到时针多走的部分大格是时针与8的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多出的部分大格是分歧针与4的距离，即40个大格减去分针几分钟内走的格数。而这两部分是相等的。由于分针走5分钟走1个大格，那么1分钟就走个大格，而时针60分钟走1个大格，那么1分钟走个大格。由此可以将经过几分钟后时针与8的距离和分针与4的距离表示出来，得到方程，进而求出结果。 解 答发散思维训练1.求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。（1）3时25分；（2）8时40分；（3）9时12分2.从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？3.小明同时开动两个钟后发现，其中的一个钟每小时慢3分钟，而另一个钟每小时快2分钟。过了一段时间他再去看这两个钟，发现那个快的钟正好比慢的钟快1小时，问小明过了多长时间去看的钟？4.时针现在表示的时间是15时整，那么分针旋转2002周后，时针表示的时间是几时？5.钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？6.一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？7.时钟的分针和时针在24小时中，形成过几次直角？8.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？9.在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差3分的距离就重合。求现在是几点钟？ 请同学们做完练习后再看答案！ 参 考 答 案1.解：2.解：时针与分针第一次成直线，即它们的夹角为180。设从9点整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时针针必落在3与4之间，即b5b5，可采用12时计时法，得到方程：3.解：快的钟比慢的钟每小时快3+2=5（分钟），1小时=60分钟，快出60分钟则需经过605=12（小时）答：小明过了12小时去看的钟。4.解：分针旋转1周经过的时间是1小时，那么2002周后经过的是2002个小时，一天有24小时，200224=8310，即旋转2002周之后经过了83天，还多10个小时，而现在的时间是15时，15+10=25，25-24=1（小时）。答：当分针旋转2002周之后，时针表示的时间是1时。5.解：由于在相同的时间内分针旋转的度数是时针旋转度数的多少倍是一个固定的值，那么不妨看经过1个小时，两针各旋转多少度。1小时，时针旋转整个表盘的，而分针旋转一周。因此有：1=12（倍）。答：相同时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的12倍。6.解：分针追上时针即两针重合，设在9点b分时两针重合，夹角为360，采用24时计时法。7.解：因为时针在1小时内转动3060=0.5，分针1分钟转动3606=6，设：经过x分后，时针与分针成为直角，那么有方程x（6-0.5）=90，故x=16。即：一天的开始时，两针都指12，两针在16分钟以后，第一次形成直角。所以，下式成立：16n=6024，故n=88。但是，两针到下次重合前，形成的角依次是90、180、270、360（相当于0），其中，符合题意的只有90和270二个。因此，24小时内，时针和分针可以形成44次直角。8.解：设时针和分针成一条直线，所需时间为x分钟，这样，分针在表盘上转动6x，因为分针1分钟转6，时针1分钟转0.5，时针则转了0.5x，那么两针之差相差180。6x-0.5x=180 5.5x=180 x=32答：经过32分钟两针可以成一条直线。9.解：一天的第六个小时，应从5点钟开始算起。设从5点开始经b分钟，时针和分针满足题中给出的要求。由于分针在一分钟里，顺时针旋转6，而时针一分钟里旋转0.5，分针与时针相差3分，那么两针夹角63=18。a=5，ab5，则采用12时计时法第五讲 时钟问题大家已经认识了钟表。钟表上的分针、时针在不停息地转动着，两针有时相互重合，有时相互垂直，有时又成一条直线，而求时针、分针形成的各种不同位置所需的时间，就构成了饶有兴趣的时钟问题。这一讲让我们一起来研究钟面上的数学问题。 例1 现在是4点整，经过多少分钟，时针正好与分针重合？分析与解答：钟面上的分针每小时走60小格（后面简称“格”），而时针每小时走5小格；分针每分钟走1小格，而时针每分钟走5/60小格，即1/20小格。在4点的时候，分针在时针后面54=20（格），而每分钟分针比时针多走1-1/12 = 11/12（格）。因此，时针与分针重合所需的时间是（2011/12）分钟。 综合列式是 （54）（1- 11/12）=21 (9/11)（分） 答：经过21(9/11)分钟，时针正好与分针重合。 例2 在7点到8点之间，时针与分针在什么时候互相垂直？分析与解答：在7点的时候，两针相距57=35（格）。分针在时针前面15格，或者在时针后面15格，两针都互相垂直。因此，本题有两个答案。 （1） 当分针走到时针前面15格时，两针互相垂直。所需的时间是 （57+15）（1- 1/12）=54 6/11（分） （2） 当分针走到时针后面15格时，两针互相垂直。所需的时间是 （57-15）（1- 1/12）=21 9/11（分） 答：在7点54 6/11 分和7点21 9/11 分时，两针互相垂直。求时针、分针形成的各种不同位置（重合、成直线、成直角等）所需的时间，主要依据行程问题中的“追及问题”的计算原理。因此，时钟问题又称钟面上的行程问题。 例3 三点与四点之间的什么时刻，钟面上时针和分针在“3”的两旁并且与“3”的距离相等？分析与解答：三点钟时，两针相距53=15（格）。设符合题目要求时，分针走了格，依题意可得方程： 15-= X/12 15= X/12+ 15= 13/12 X = 13 11/13 答：两针距“3”等距的时刻为3点分13 11/13。 还可以这样想：假设从3点整起时针逆向转动，将求两针与“3”字等距的时间，转化为求两针相遇的时间。