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第1章 机械设计概论任务1-1机器的认识任务分析机器是人类生产和生活中的重要工具，使用机器生产的水平是衡量一个国家的技术水平和现代化程度的重要标志。图1-1所示是我们生活中常见的脚踏缝纫机，它的工作原理是通过将脚踏在踏板上摆动从而带动大带轮驱动缝纫机运动。那么，还见过哪些机器呢？4326587 （a）缝纫机 （b）缝纫机简图图1-1 脚踏缝纫机本任务要求结合实际，正确认识更多的机器，区分实际生产和生活中哪些是机器，哪些不是机器，同时区分机器和机构，认识构件和零件。1.1 机器与机构1.1.1 机器的组成及功能图1-1（b）所示为家庭用缝纫机，它是由机架4、踏板3、连杆2、曲轴及大带轮1、小带轮5、传动带6以及带动缝纫机针8运动的机头7中的其他机构组成的。当踏动踏板时，就会把运动传递到缝纫机针，完成一定的运动。图1-2所示为单缸内燃机，它是由气缸体1、活塞2、进气阀3、排气阀4、连杆5、曲轴6、凸轮7、顶杆8、齿轮9和齿轮10组成的。燃气推动活塞2做往复移动，经连杆5转变为曲轴6的连续转动，从而带动齿轮10，通过齿轮10和齿轮9的啮合带动凸轮7转动，进而控制进、排气阀的启闭运动。为保证曲轴每转两周进、排气阀各启闭一次，曲轴与凸轮之间安装了齿数比为1:2的齿轮。这样，当燃气推动活塞运动时，各构件协调地动作，加上汽化、点火等装置的配合，就可以把燃气的热能转化为曲轴转动的机械能。6753248197109 图1-2 单缸内燃机 图1-3 数控铣削加工机床图1-3所示为数控铣削加工机床，通过将零件的加工程序输入机床的数控装置中，数控装置控制伺服系统和其他驱动系统，再驱动机床的工作台、主轴等装置的运动，从而完成零件的加工。由以上实例可以看出，尽管机器的种类很多，其结构、功能和用途各异，但从组成和作用上来分析，机器却有着以下共同的特征： 任何机器都是由许多实体组合而成的，如图1-2所示的单缸内燃机，是由汽缸、活塞、连杆、曲轴、轴承等构件组合而成的； 各运动实体之间具有确定的相对运动； 能实现能量的转换，代替或减轻人类的劳动，完成有用的机械功。我们把同时具有以上3个特征的实物组合称为机器。机器按照构造、用途、性能等可分为以下几类。（1）动力机器。如电动机、发电机、内燃机等，要用来实现机械能与其他形式能量间的转换。（2）加工机器。如普通机床、数控机床、工业机器人等，主要用来改变物料的结构形状、性质和状态。（3）运输机器。如汽车、飞机、输送机等，主要用来改变物料的空间位置。（4）信息机器。如计算机、摄像机、复印机、传真机等，主要用来获取或处理各种 信息。1.1.2 机构机构是用来传递运动和力的各实物的组合。如图1-1（b）所示的缝纫机踏板机构，它是由踏板3、连杆2、曲轴1和机架4组成，各实物之间用运动副连接。由此可见，机构具有机器的前两个特征，是机器的组成部分。机器与机构的区别在于：机器的主要功用是利用机械能做功或实现能量的转换；机构的主要功用在于传递或转变运动的形式，不能做机械功，也不能实现能量转换。例如，发动机、机床、轧钢机、纺织机和拖拉机等都是机器，而钟表、仪表、千斤顶、机床中的变速装置或分度装置等都是机构。通常的机器必包含一个或一个以上的机构。图1-2所示的单缸内燃机，其中就有一个曲柄连杆机构，用来将汽缸内活塞的往复运动转变为曲柄（曲轴）的连续转动。如果不考虑做功或实现能量转换，只从结构和运动的观点来看，机器和机构没有区别，所以将它们总称为机械，即：机械是机器与机构的总称。1.1.3 构件与零件构件是机构中参加运动的单元体，具有独立的运动特性。它是运动的单元，一个构件可以是不能拆开的单一整体，如图1-2所示的曲轴6；也可以是几个相互之间没有相对运动的物体组合而成的刚性体。如图1-4中所示的内燃机中的连杆，它是由连杆体、连杆盖和连接连杆体和连杆盖的螺钉组成的，内燃机工作时，连杆作为一个整体参加运动。 （a）连杆 （b）连杆盖 （c）连杆体 （d）连接螺钉图1-4 连杆零件是机械中的制造单元，是组成机械的不可拆开的基本单元，如图1-4中的螺钉、连杆体、连杆盖等。机械中的零件按功能和结构特点又可分为通用零件和专用零件。各种机械中普遍使用的零件称为通用零件，如螺钉、键、齿轮、轴承等。仅在某些专门行业中才用到的零件称为专用零件，如内燃机活塞、机床床身、汽轮机叶片等。1.1.4 机械设计的基本要求和设计方法1设计要求（1）满足使用要求。设计的机器必须完成规定的功能，在规定的条件下和预期的寿命期间内能可靠地工作，并且操作简单、维修方便。（2）满足经济性要求。经济性指标是一项综合性指标。所设计的机械产品应在满足使用要求的前提下，尽量使得产品的设计制造成本低、能源材料耗费少、维护管理费用低，而生产率和机械效率高。（3）满足其他要求。如要求机械产品外形美观、装拆容易、噪声小等。2设计方法机械零件的设计方法很多，如理论设计法、类比法、实验法、计算机辅助设计法等。一般的设计步骤为：（1）根据使用要求，选择零件的类型及结构形式。（2）按工作情况，确定作用在零件上的载荷。（3）根据工作要求，合理选择零件材料。（4）分析零件的主要失效形式，按照相应的设计准则，确定零件的基本尺寸。（5）设计零件的结构及尺寸，并进行必要的强度、刚度校核计算。（6）绘制零件工作图。任务实施实施过程见表1-1。表1-1 机器的认识任务实施过程步 骤内 容教 师 活 动学 生 活 动成 果1什么是机器？机器有哪些特征？机器与机构的区别布置任务、举例引导，讲解相关知识课外调研，课堂讨论书面调研报告、课堂汇报2什么是零件？什么是构件？二者的区别布置任务、指导学生活动学生对机器模型进行观察、组内讨论小组讨论记录、汇报3机械设计的要求和 方法举实例引导学生、对学生活动进行总结讨论、发言任务总结1机器的特征。 任何机器都是由许多实体组合而成的。 各运动实体之间具有确定的相对运动。 能实现能量的转换、代替或减轻人类的劳动，完成有用的机械功。2机构的特征。 由许多实体组合而成的。 各运动实体之间具有确定的相对运动。3构件和零件。构件是机构中参加运动的单元体；零件是机械中的制造单元，是组成机械的不可拆开的基本单元。任务1-2构件的静力分析任务分析静力学研究物体机械运动的特殊情形平衡问题。所谓机械运动，是指物体在空间的位置随时间而变化。在工程上，物体相对于地球处于静止或做匀速直线运动的状态称为平衡。静力学研究物体在力系作用下的平衡规律，并建立各种力系的平衡条件。在工程实践中，经常遇到物体处于平衡状态下的受力分析问题。像许多机器的零件和结构构件，如机床的主轴、丝杠、起重机的起重臂等，它们在工作时处于平衡状态或可近似地看作处于平衡状态。为了合理地设计这些零件和构件的形状、尺寸，选用恰当的材料，往往需要对它们进行强度、刚度或稳定性的分析计算。为此，必须首先运用静力学知识，对零件和构件进行受力分析，并根据平衡条件求出这些力。如图1-5所示的简易吊车，为了保证它能正常工作，需要合理地确定各构件的尺寸，为此必须首先分析和计算各构件所受的力；又如图1-6所示的斜楔夹紧机构，为了保证斜楔在夹紧后不致松脱，就必须分析斜楔的受力情况，从而找出应满足的条件。 图1-5 简易吊车 图1-6 斜楔夹紧机构本任务要求能够对构件进行力学分析，并正确使用平衡方程进行未知力的计算。1.2 力的基本概念1.2.1 力的概念自古以来，人们从生产劳动和日常生活中，通过推、拉、提、掷等活动，由于肌肉的紧张收缩，感觉到人对物体施加了力，因而使物体的运动状态发生变化。如用手推小车，小车受到了力的作用由静止开始运动；物体受地球引力作用而自由下落时，速度将愈来愈大；用锻锤锻打工件，工件在锻锤打击力作用下会发生变形等。人们就从这样大量的实践中，由感性认识上升到理性认识，形成了力的科学概念，即力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体发生变形。因此，力不能脱离实际物体而存在。图1-7 力的表示法力使物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应，而力使物体产生变形的效应称为力的内效应。静力学主要研究力的外效应，材料力学研究力的内效应。实践表明，力对物体的效应决定于3个要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用点。3个要素中有任何一个改变时，力的作用效应也随之改变。1-7 力的表示法在国际单位制中，力的单位用牛顿或千牛顿，简写为牛（N）或千牛（kN）。力对物体的效应不仅决定于它的大小，而且还决定于它的方向，所以力是矢量。力可用一有向线段来表示，如图1-7所示。线段的长度按一定的比例表示力的大小（图中力的大小为40 N）；线段的方位和箭头的指向表示力的方向；线段的起点（或终点）表示力的作用点。过力的作用点沿力的方向引出的直线称为力的作用线。力矢量通常用黑体字母或带箭头的字母来表示，其大小则用不带箭头的字母来表示。1.2.2 刚体的概念力对物体的效应，除了使物体的运动状态发生变化外，还会使物体发生变形。在正常情况下，工程上的机械零件和结构构件在力的作用下发生的变形是很微小的，这种微小的变形对研究力的外效应影响很小，可以忽略不计。这样物体就可被看成是不变形的，从而使问题的研究得到简化。这种受力后大小和形状都保持不变的物体称为刚体。如果研究的问题中物体的变形成为主要因素时（如在材料力学中），就不能再将物体看作刚体。1.2.3 平衡的概念前面已经提到，在工程上物体相对于地球处于静止或做匀速直线运动的状态称为平衡。平衡只是物体机械运动的特殊形式。必须注意到，运动是绝对的，而平衡、静止则是相对的。所谓相对，就是暂时的、有条件的。如果作用于物体上的力系满足一定条件，物体可以处于平衡状态，一旦物体所受的力发生变化，平衡的条件被破坏，物体就由平衡状态转变为不平衡状态。如果物体在力系作用下处于平衡状态，这种力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。1.2.4 静力学公理静力学公理阐述了有关力的一些基本性质。这些性质是人们在长期的生活和生产实践中，通过对力学现象的观察和实验再加以概括和总结而提出的。公理的正确性，又为大量的实践所证实。它是静力学理论的基础。1二力平衡公理欲使受两力作用的刚体保持平衡，其必要和充分条件是：该两力大小相等、方向相反并作用于同一直线上（图1-8）。图1-8 二力平衡公理只受两力作用而处于平衡的构件称为二力构件，简称二力杆。二力杆的受力特点是：所受的两力必定沿作用点的连线。工程上常根据这一特点来确定二力构件所受力的方向。必须注意到，对于非刚体来说，二力平衡条件只是必要条件而非充分条件。例如，绳索的两端受到等值、反向、共线的两个拉力时处于平衡，但如受到等值、反向、共线的两个压力，就不能平衡了。所以对于像绳索一类的柔性体，只有在受拉的情况下，才能应用二力平衡公理。如图1-9（a）所示的棘轮机构中的棘爪AB，当不计其自重时就是二力杆。FA、FB两力必定沿A、B两点的连线（图1-9（b）。2加减平衡力系公理力系：作用于物体上的一群力称为力系。平衡力系：如果物体在力系作用下处于平衡状态，这样的力系就称为平衡力系。加减平衡力系公理：在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。这是由于平衡力系中各力对刚体作用的外效应彼此抵消。应用二力平衡公理和加减平衡力系公理，可得如下的推论。推论1：力的可传性原理。作用于刚体上的力可沿其作用线移至刚体上的任一点，而不改变此力对刚体的作用效应。此原理证明如下。（a） （b）图1-9 棘轮机构中的棘爪受力分析（a） （b） （c）图1-10 力的可传性原理的证明（1）设力F作用于刚体上A点（图1-10（a）。（2）在力F的作用线上任选一个B点，并在B点加一对沿AB线的平衡力F1和F2，且使F2=F=-F1（图1-10（b）。（3）除去F与F1所组成的一对平衡力，刚体上只剩下F2，且F2=F（图1-10（c）。F2与F的作用效果是相同的。由力的可传性原理可知，力对刚体的作用取决于力的大小、方向和作用线3个要素。必须指出，力的可传性原理仅适用于刚体。对于需要考虑变形的物体，力不能沿其作用线移动，因为移动后将改变物体内部的受力和变形情况。例如，图1-11所示的AB杆，原来受两拉力作用而产生拉伸变形（图1-11（a）；若将两力沿着作用线分别移至杆的另一端（图1-11（b），杆将受压而产生压缩变形。（a）（b）图1-11 力的可传性原理对须考虑变形的物体不适用3力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力也作用于同一点，其大小和方向由以该两力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示（图1-12（a）。图中F1、F2两力称为合力R的分力。 （a） （b）图1-12 力的平行四边形法则上述法则说明，两个共点力的合成不能简单地将其数值大小相加，而必须遵循平行四边形法则相加。这种力合成的方法称为矢量加法。合力等于两分力的矢量和。可用矢量式表示为R=F1+F2显然，上述矢量等式不能与代数等式R=F1+F2相混，因为两者的含义不同。求合力R时，也可以只做出力的平行四边形的一半（图1-12（b），即从力F1的终点b作F2，再连接a、c两点成矢量，即得合力R。由此而构成的三角形abc称为力三角形。合力与分力所遵循的这种力三角形关系称为力三角形法则。应用力的平行四边形法则或力三角形法则，也可以将一个力分解为两个力，但这是有条件的。一般是沿着两个已知方向（如互相垂直的方向）分解为两个分力。 应用上述几条静力学的基本公理和法则又可得如下的推论。推论2：三力平衡汇交定理。刚体受互不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。下面来证明这一推论。现有互不平行的三个力F1、F2、F3作用于刚体上（图1-13（a）而刚体平衡，F1和F2的作用线必相交于某点O，将F1和F2分别沿作用线移到O点，求出它们的合力R（图1-13（b），R应与F3相平衡；根据二力平衡条件，R与F3必须共线，亦即F3的作用线必通过O点。这就证明了三力平衡汇交定理。它是不平行三力平衡的必要条件，而非充分条件。当刚体受不平行三力而处于平衡时，利用这个定理可以确定未知力的方向。 （a） （b） 图1-13 三力平衡汇交定理4作用与反作用定理两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一作用线，并分别作用于两个物体上。这个定律表明，力总是成对出现的。有作用力，必定有反作用力，两者同时存在，同时消失。要强调指出的是：作用力与反作用力虽然等值、共线、反向，但并不作用于同一物体上，因此，不能误认为这两个力互成平衡。这与二力平衡公理有本质的区别。1.3 约束与约束反力1.3.1 约束与约束反力简介（1）约束：约束对物体运动的限制。（2）约束体：构成约束的周围物体。（3）约束反力：约束体作用于研究对象上的力，简称反力。约束反力的方向总是与约束体所能限制的运动方向相反，这是确定约束反力方向的一个原则。凡能主动引起物体运动或使物体有运动趋势的力，称为主动力（如重力、切削力、电磁力）。物体所受的主动力往往是给定的或可测定的；而约束反力则由主动力所引起，是属于被动性质的一种力。约束反力的方向，一般可根据约束的类型予以确定；至于约束反力的大小，在静力学中需要通过平衡条件求出。1.3.2 工程上常见的几种约束类型及其反力方向的确定1柔性体约束（简称“柔索”）由柔软的绳索、胶带、链条等构成的约束称为柔性体约束。由于柔性体约束只能限制研究对象沿着柔性体中心线拉直的方向运动，因此，柔性体给被约束物体的力，方向一定沿着柔性体，并且只能是拉力，常用字母T和S表示。例如，用铁链吊起一减速箱盖（图1-14（a），G是箱盖所受的重力，根据柔性体反力的特点，可以确定铁链给铁环的力一定是拉力（T，TB，TC），铁链给箱盖的力也是拉力（SB，SC）。同理，可以确定在皮带传动中皮带给两个皮带轮的力都是拉力 （图1-14（b）。 （a）（b）图1-14 柔性体约束2光滑接触面（线）约束物体与光滑支承面接触时（图1-15），由于不计摩擦，因此支承面并不能限制物体沿其切线方向移动，而仅能阻止物体沿接触面的法线方向向下运动。因此，光滑接触面给被约束物体的力，方向必沿接触面的公法线，并且只能指向被约束物体，常用字母N表示。 图1-15 光滑接触面约束圆柱形工件搁置于V形铁上所受到的约束（图1-16），杆件搁置于凹槽中所受到的约束（图1-17），均属于此类约束。 图1-16 圆柱形工件的受力 图1-17 杆件的受力3光滑圆柱铰链约束工程上常用铰链将桥梁、起重机起重臂等结构同支承面或机架等连接起来，这就构成了铰链支座。这类约束在工程上有下列几种主要形式。（1）固定铰链支座。固定铰链支座由底座、被连接构件和销钉3个主要部分构成 （图1-18（a）。这种支座的连接情况是将销钉插入被连接构件和底座上相应的销孔内，再用螺钉将底座固定于其他基础或机架上。于是，在垂直于销钉轴线的平面内，被连接构件只能绕销钉的轴线转动而不能任意移动（图1-18（b）。当被连接构件作为研究对象并受到一定的载荷时，其上的销孔壁便紧压于销钉的某处，于是销钉便通过接触点给予研究对象一个反作用力R（图1-18（c）。根据光滑接触面约束的特点可知，这个约束反力应沿着圆柱面接触点的公法线方向，通过销钉中心。随着研究对象所受载荷的不同，销孔与销钉接触点的位置也有所改变，以至反力的方向也随着变化。因而，固定铰链支座的约束反力的作用线必定通过销钉中心，但方向需要根据研究对象的受载情况来确定。工程上，固定铰链支座常用图1-19（a）所示的简图来表示。通过销钉中心而方向待定的约束反力，常用两个相互垂直的分力Rx、Ry来表示（图1-19（b）。两分力的指向可以假定，通过计算即可判定其正确性。用圆柱销钉将两个构件连接在一起而构成的销钉连接（图1-20），工程上称为中间铰链。两构件通过中间铰链而互为约束，其约束反力的分析与固定铰链支座相同。（a） （b） （c）图1-18 固定铰链支座的约束反力（2）活动铰链支座。如果固定铰链支座中的底座不用螺钉而改用辊轴与支承面接触 （图1-21（a），便形成了活动铰链支座。这种支座常在桥梁、屋架等结构中采用，以保证温度变化时结构可作微量的伸缩。活动铰链支座常用图1-21（b）所示的简图表示。这种支座能够限制被连接构件沿着支承面的法线方向运动，因而在不计摩擦的情况下，活动铰链支座的约束反力的作用线必通过销钉的中心且垂直于支承面，并指向研究对象（图1-21（c）。 （a） （b） （a） （b）图1-19 固定铰链支座的简图 图1-20 中间铰链 （a） （b） （c）图1-21 活动铰链支座两种铰链支座的约束反力均可用字母R来表示；其中活动铰链支座的约束反力也可用字母N来表示。工程上某些构件的支承，常可简化成一端为固定铰链支座、另一端为活动铰链支座约束（图1-22（a）。根据构件所受的载荷，可作出其受力图（图1-22（b）。（a） （b）图1-22 构件的支承简化图4固定端约束物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束。实例：房屋阳台（图1-23（a）、车刀刀架（图1-23（b）及卡盘上的工件（图1-23（c）等。 （a） （b） （c）图1-23 固定端约束实例固定端约束的受力情况如图1-24所示。特点：固定端约束限制物体在约束处沿任何方向的移动以及在约束处的转动。 （a） （b） （c）图1-24 固定端约束方向：一个约束力F，和一个约束力偶MA，如图1-24（b）所示。由于FN的方向往往不定，常用两个正交分力FAX、FAY表示，如图1-24（c）所示。FN限制物体的移动，力偶MA限制物体的转动。1.4 受力分析与受力图1.4.1 研究对象与受力图的概念研究物体的平衡问题时，首先必须分析物体受到哪些力的作用。为了清楚地表示物体的受力情况，需要将研究的物体从与之相联系的周围物体中分离出来，单独画出该物体的图形并表示出它受到的全部作用力。这种图称为受力图。所研究的这一物体称为研究对象。正确地选取研究对象并做出它的受力图，是进行力学计算的关键。1.4.2 受力图的画法下面举例说明物体受力图的画法。【例1-1】 三角架由AB、BC两杆连接而成。销B处悬挂重G的物体，A、C两处用铰链与墙固连（图1-25（a）。不计杆的自重，试做出销B的受力图。解：以销B为研究对象。将销B从整个结构中分离出来，以便绘制它的受力图。销B除受主动力G作用外，还受到杆AB和BC的约束反力作用。由于两杆都是两端铰接而自重不计的二力杆，所以它们的反力SAB、SBC分别沿着两铰链中心的连线；又根据两杆对销B所起的拉、撑作用，即可定出反力SAB、SBC的指向（图1-25（b）。 （a） （b）图1-25 三角架的受力分析 【例1-2】 梯子的AB、AC两部分在A处以铰链连接，并在D、E两处用水平绳索相连。在梯子的一边作用一垂直方向的载荷P（图1-26（a）。不计梯子的自重与接触面间的摩擦，试做出AB、AC的受力图。解：先取AB为研究对象（图1-26（b）作用于其上的主动力为P，所受的约束反力可根据约束类型分析如下。B处为光滑接触面约束，反力NB垂直于支承面并指向AB；D处为绳索约束，反力T1沿绳索背离AB；A处为销钉连接，其反力以两分力RAX、RAY表示，并假设RAX向右，RAY向上。 （a） （b） （c）图1-26 梯子的受力分析再取AC为研究对象（图1-26（c）。由AB通过销A传给AC的力为RAX、RAY，它们与RAX、RAY是作用力与反作用力关系，故两者的指向应相反；C、E两处的约束反力的分析方法同上。1.5 平面力系的平衡方程及应用1.5.1 平面汇交力系1平面汇交力系及其实例各力的作用线在同一平面内并且相交于一点的力系，称为平面汇交力系。起重机匀速吊起钢管时的受力情况如图1-27（a）所示。当以钢管为研究对象分析其受力时，其上除作用有重力G以外，还受到两端绳索的拉力T1与T2的作用（图1-27（b）。这三个力的作用线位于同一平面内，且汇交于A点。（a） （b）图1-27 起重机匀速吊起钢管时的受力分析2平面汇交力系合成与平衡的解析法（1）力在平面直角坐标轴上的投影设力F如图1-28所示，在力F的作用平面内选取直角坐标系oxy。过力F的起点A与终点B分别向x、y轴作垂线，得垂足a1、b1和a2、b2，则线段a1b1称为力F在x轴上的投影，以Fx表示；线段a2b2称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。力在坐标轴上的投影是代数量，其正负号规定如下：当力F的投影指向（即从a1b1或从a2b2的指向）与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，反之为负值。设力F与x轴所夹的锐角为，则力的投影一般可写为Fx=FcosFy=Fsin （1-1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；力与坐标轴平行时，其投影的绝对值就等于力的大小。 图1-28 力在坐标轴上的投影 图1-29 各力方向【例1-3】 已知F=100N，P=200N，Q=250N，S=150N，各力方向如图1-29所示，其中P平行于y轴，试求上述四力在x、y轴上的投影。解：F力：Fx=-Fcos30=-100cos30=-86.6（N）Fy=-Fsin 30=-100sin30=-50（N）P力：P x=0P y=-P=-200（N）Q力：Qx=Qcos45=250cos45=176.8（N）Qy=Qsin45=250sin45=176.8（N）S力：S x=Ssin30=150sin30=75（N）Sy=-Scos30=-150cos30=-129.9（N）（2）合力投影定理设刚体受一平面汇交力系F1、F2、F3作用（图1-30（a），其合力R可用力多边形法则将各力首尾相接求出（图1-30（b）。在力多边形所在的平面内取直角坐标系oxy，将力系的合力R及F1、F2、F3各力向x轴投影得Rx=ad；Flx=ab；F2x=bc；F3x=-cd由图1-25（b）可见ad=ab+bc-cd故 Rx=F1x+F2x+F3 x同理可得 Ry=-F1y+F2y+F3 y推广到3个以上汇交力，上述合力投影与分力投影的关系仍然适用。再将分力写成和的形式，于是有Rx=FxRy=Fy （1-2）即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影 定理。 （a） （b）图1-30 合力投影定理（3）平面汇交力系合成的解析法用解析法求平面汇交力系的合力时，可先分别求出各力在两坐标轴上的投影并求其代数和Fx和Fy，这就是合力R在两坐标轴上的投影Rx和Ry，然后求出合力R的大小和方向（图1-31）。 合力的大小 R合力的方向 （1-3）为合力R与x轴所夹的锐角，合力R的指向由Rx和Ry的正负号判定。 图1-31 合力的大小和方向 图1-32 钻头对工件压力的方向【例1-4】 组合机床在加工某工件时，同时钻削4个径向孔。钻头对工件的压力分别为Fl=1.2 kN，F2=l kN，F3=1.5 kN，F4=3 kN，各力的方向如图1-32所示。试求此4个力的合力。解：（1）取图示直角坐标系oxy，应用合力投影定理，可得R在x、y轴上的投影分 别为Rx=Fx=-F2 cos 45-F3+F4cos 30=-1cos 45-1.5+3cos 30=0.391（kN）Ry=Fy=-F1-F2 sin 45+F4sin 30=-1.2-1sin 45+3sin 30=-0.407（kN）（2）再根据式（1-3），求出合力R的大小和方向：R=0.564（kN） =46（4）平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力等于零，即欲使上式成立，必须同时满足Fx=0Fy=0 （1-4）由此可得平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别都等于零。式（1-4）称为平面汇交力系的平衡方程。式（1-4）含两个独立的平衡方程，因而一个刚体受平面汇交力系作用而处于平衡时，可求解两个未知量。下面举例说明平衡方程的应用。【例1-5】 图1-33（a）所示为曲柄冲压机机构，冲压工件时，冲头B受到的工件阻力Q=25 kN。试求=14时连杆AB所受的力与导轨的约束反力。解：（1）取冲头B为研究对象，其受力图如图1-33（b）所示。冲头除受工件阻力Q作用外，另有连杆AB传给冲头的力SAB，由于连杆为二力杆，故SAB必沿A、B两点的连线，指向可假定如图所示；再有左侧导轨的约束反力N，三力组成一平面汇交力系。（2）选取图示的直角坐标系Bxy，运用平衡方程求解未知量。Fy=0；-SAB cos+Q=0故 SAB=25.8（kN）Fx=0 N -SABsin=0N=SABsin=25.8sinl4=6.24（kN）计算结果SAB为正值，表明假设的指向与实际指向相同。此时连杆AB所受的冲头反力与力SAB等值反向，即连杆承受压力，如图1-33（c）所示。 （a） （b） （c）图1-33 冲头的受力分析1.5.2 平面力偶系的合成与平衡1力对点之矩在生产实践中，我们察觉到用扳手拧紧螺母时（图1-34），其拧紧的程度不仅与F的大小有关，而且还与螺母中心O到力F作用线间的垂直距离d有关。显然，力F的值越大，螺母拧得越紧；距离d 增大时，螺母也将拧得越紧。此外，如果力F的作用方向与图1-34所示的相反，则扳手将使螺母松开。因此，工程中以乘积Fd并加以适当的正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力F对O点之矩，简称力矩。以符号Mo（F）表 示，即Mo（F）= Fd （1-5）式中，O点称为力矩中心，简称矩心。O点到力F作用线间的垂直距离d称为力臂。通常规定：力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩为正；反之为负。由式（1-5）可知，力对点之矩取决于力的大小和矩心位置。通常矩心的位置不同，力矩也不相同。只有当力的作用点沿其作用线移动时，该力对矩心的力矩才不变。如果力F的作用线通过矩心（d=0），则力矩等于零，这时力不能对物体产生转动效应。力矩的单位为牛顿米（Nm）。【例1-6】 汽车操纵系统的踏板装置如图1-35所示。已知工作阻力R=1700N，驾驶员脚的蹬力F=193.7N，尺寸a=380mm，b=50mm，=60。试求工作阻力R和蹬力F对O点之矩。解：根据式（2-5）可求得工作阻力R和蹬力F对O点的力矩分别为Mo（R）=Rbsin=17000.05sin60=73.6（Nm）Mo（F）= -Fa=193.70.38=-73.6（Nm）图1-34 力对点之矩 图1-35 汽车操纵系统的踏板装置 图1-36 弯柄扳手2合力矩定理下面讨论平面汇交力系的合力对平面内某一点的力矩与各分力对同一点的力矩之间的关系。以弯柄扳手为例（图1-36），设在扳手上A点处作用一力R，以螺母中心O为矩心，其力臂为d。根据公式（2-5），可求得力R对O点的力矩为Mo（R）=-Rd （a）现将力R分解为互相垂直的两个分力F1和F2，它们的力臂分别为d1和d2。由式1-1可得F1=Rcos，F2=Rsind1=d cos，d2=dsin两分力F1和F2对O点之矩的代数和为Mo（F1）+Mo（F2）=-F1d1-F2d2=-Rcosdcos-Rsind sin=-Rd （b）由（a）、（b）两式可得Mo（R）=Mo（F1）+Mo（F2）上式说明合力R对O点的力矩等于其分力F1和F2对O点力矩的代数和。这一结论虽然是从特例中推导出来的，但是具有普遍意义，推广后有合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。用数学式表示为Mo（R）=Mo（F） （1-6）3力偶与力偶矩（1）力偶与力偶矩生产实践中，常会遇到物体上同时受到两个大小相等、方向相反、作用线不重合的平行力的作用。例如，汽车驾驶员用双手转动方向盘时，作用于方向盘上的两个力（图1-37）；工人攻螺纹时作用于丝锥手柄上的两个力（图1-38）。在这样两个力的作用下，物体产生转动。我们将大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系视为一个基本力学量，称为力偶，以符号（F，F）表示。力偶中两力所在的平面称为力偶作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。m=Fd （1-7） 图1-37 方向盘 图1-38 攻螺纹时作用于丝锥手柄上的两个力由经验可知，物体受力偶作用产生的转动效果，不仅与力偶中力F大小成正比，而且与力偶臂d的大小成正比。力F与力偶臂d值越大，转动效果越显著。因此，与力矩类似，工程中以乘积Fd并加以适当的正、负号作为力偶对物体转动效应的度量，并称之为力偶矩，以符号m表示，即式（1-7）中的正、负号表示力偶的旋转方向。通常规定：力偶使物体做逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。力偶矩的单位与力矩单位相同。由力偶的定义可知，组成力偶的一对平行力构成了一个特殊力系，它们在其作用面内任一坐标轴上的投影的代数和等于零。根据合力投影定理可以得出：力偶没有合力。所以，力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。（2）力偶的等效力偶中两力对其作用面内任一点的力矩的代数和为一常效，并等于力偶矩。也就是说，力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩的大小与转向，而与矩心的位置无关。因此，如果两个力偶的力偶矩大小相等而且转向相同，则这两个力偶对物体就有相同的转动效应，并称它们为等效力偶。由此还可得出下面两个推论： 力偶可以在其作用面内任意转移，而不会改变该力偶对物体的作用效果； 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中的两力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物体的作用效果。以上推论很容易在实践中得到验证。例如汽车驾驶员转动方向盘时，无论两手作用于A、B两处，还是作用于C、D两处（图1-39），只要作用在方向盘上的力偶矩不变，其转动效果总是相同的；同样道理，用丝锥攻螺纹时，无论两手作用于A、B两处，还是作用于C、D两处（图1-40），只要两手作用在丝锥手柄上的力偶矩不变，丝锥的转动效果也是相同的。图1-39 方向盘 图1-40 攻螺纹时作用于丝锥手柄上的两个力由于力偶对物体的作用完全决定于力偶矩的大小和转向，因此，力偶也可用带有箭头的弧线来表示。图1-41就是同一个力偶的3种不同的表示法。图1-41 同一个力偶的3种不同的表示法4平面力偶系的合成与平衡（1）平面力偶系的合成作用于同一平面内的两个或两个以上的力偶称为平面力偶系。对于由更多个力偶组成的平面力偶系，仍可用同样的方法进行合成。因此可得如下结论：平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代效和。用数学式表示为M=m （1-8）（2）平面力偶系的平衡 平面力偶系合成的结果为一合力偶，显然，若要力偶系平衡，必须并且只需合力偶矩等于零，即M=0。所以平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和等于零。用数学式表示为m=0 （1-9）【例1-7】 用多轴钻同时钻削工件上4个直径相同的孔，如图1-42所示。已知钻一个孔的切削力偶矩m=15Nm，问加工时工件受到总的切削力偶矩多大？若固定螺栓A和B之间的距离L=0.4m，试求工件在切削时两个螺栓A、B处所产生的约束反力。解：工件受到总的切削力偶矩M等于每个孔所受的切削力偶矩m的代数和，即M=m=-4m=-415=-60（Nm）因工件仅受力偶作用，故两螺栓处的约束反力NA、NB必定也组成一个力偶，与切削力偶相平衡（图1-42）。由平面力偶系的平衡条件，可得m=0，NAL-4m=0NA=NB=4m/L=415/0.4=150（N）图1-42 多轴钻同时钻削工件上孔的平衡力偶分析1.5.3 平面一般力系前面我们讨论了平面汇交力系和平面力偶系，而平面汇交力系和平面力偶系则是平面一般力系的两个特例。平面一般力系才是在工程上最常见的普通力系。1平面一般力系的平衡方程及其应用 既然平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的两个特例，则平面一般力系的平衡条件也就是上两个力系的综合。因此，平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各的在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有的力对其作用面内任一点力矩的代数和为零，即Fx=0Fy=0 M0（F）=0 （1-10）其中前两个为投影方程，后一个为力矩方程。由这3个独立的方程可以求解3个未知量。在应用平衡方程解题时，式（1-10）中的3个方程可根据解题的方便而首先选用其中的任一个方程。坐标系的选取一般使坐标轴与该力系中多数力的作用线平行或垂直，而矩心则通常选在两个未知力的交点上。【例1-8】 某电视塔塔架采用桅杆式起重机吊装（图1-43）。吊装时，用卷扬机绞动钢索BC，使整个塔架绕A点转动。已知塔架自重G=3800kN，钢索与桅杆间的夹角=60，有关尺寸如图所示。试求在图示位置扳起塔架时，钢索BC的拉力及铰链支座A的反力。桅杆AB和钢索的重量略去不计。解：（1）取塔架和桅杆整体为研究对象，画出受力图如图1-43所示。MA（F）=0 TAD-G68=0得 G68 =380068=258400（kNm）AD= ABsin=72sin 60=62.4（m）T=258400/62.4=4140（kN）图1-43 以塔架和桅杆整体为研究对象的受力图 （2）取图示坐标Axy。若先列投影方程，则方程内将有两个未知量，故先用力矩方程，并选取A点为矩心，由再用投影方程Fx=0，RAx-T sin=0得 RAx=T sin 60=4140 sin 60=3590（kN）Fy=0， RAy-T cos-G=0得 RAy=T cos 60+G=41