高等代数---第九章 线性变换

高等代数 II Advanced Linear Algebra,助 教： 胡志 恽彦坚,主讲教师: 高 峡 理科楼1478S gao_m_,大课 周二 6, 7 节 二教 205 周四 3, 4 节 二教 205习题课 周四 10,11 节 理教 211, 307,教材:高等代数 (第二版) 下册，丘维声著参考书：高等代数 (下册) -大学高等代数课程 创新教材, 丘维声著, 清华大学出版社高等代数学习指导书 下册, 丘维声著,课件下载:/index.jsp 用户名：linalg1 密码： linalg1 linalg2 linalg2 . . . . . . linalg9 linalg9 进入后点击 讲义资料 下载。,设 V 是域 K 上的线性空间, A 是 V 上的线性变换. 若 A 的零化多项式 f ( x ) 在 K x 中有分解 f ( x ) = f1 ( x ) fs ( x ) , fi ( x ) 两两互素 . 则 V 可分解成 A -子空间的直和 V = Ker f1 ( A ) Ker fs ( A ),不变子空间的直和分解,第九章 线性变换,5 Hamilton-Cayley 定理 6 最小多项式 7 幂零变换的结构 8 Jordan 标准型 9 对偶空间,设 A 是 K - 线性空间 V 上的线性变换, f ( x ) 是 A 的特征多项式. 则有 f ( A ) = 0 . 即线性变换的特征多项式都是零化多项式,Hamilton-Cayley 定理,1. 用伴随矩阵法证明 Hamilton-Cayley 定理 最反映问题本质,设 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 则有 A 1 = 1 3 2 + 4 3 A 2 = 4 1 7 2 + 8 3 A 3 = 6 1 7 2 + 7 3,设 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,( A3 A2 5 A 3 I ) 1 = 0 ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,A2 + 7 I, 3 A 7 I,4 A + 4 I,( A3 A2 5 A 3 I ) 1 = 0 ( A3 A2 5 A 3 I ) 2 = 0 ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,4 A + 20 I,A2- 8A -17 I,8 A + 8 I,( A3 A2 5 A 3 I ) 1 = 0 ( A3 A2 5 A 3 I ) 2 = 0 ( A3 A2 5 A 3 I ) 3 = 0 ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,6 A +14 I,7 A 11 I,A2+6 A+5 I,( A3 A2 5 A 3 I ) 1 = 0 ( A3 A2 5 A 3 I ) 2 = 0 ( A3 A2 5 A 3 I ) 3 = 0 由此推出 A3 A2 5 A 3 I = 0 而 A3 A2 5 A 3 I 就是 f ( A ) ! f ( x ) = x3 x2 5 x 3 是 A 的特征多项式,问题: 这些组合因子是哪里来的 ? 为什么用它们做组合得 f ( A ) 或 0 ? ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,A2 + 7 I, 3 A 7 I,4 A + 4 I,将条件写成矩阵形式 ( A I ) 1 + 3 2 4 3 = 0 4 1 + ( A + 7 I ) 2 8 3 = 0 6 1 + 7 2 + ( A 7 I ) 3 = 0,左乘伴随,伴随矩阵为,左乘伴随 得 f ( A ) = = 0,以上证明看似简单, 实则用到了大量 交换么环上的行列式, 矩阵乘法的理论: 设 R 是交换么环, 例如 R = K x , K A , 对元素在 R 中的 n 阶矩阵 A , 其行列式 | A | 也可以用以前的方式定义,n 阶行列式的公式,1. 方阵做转置, 行列式值不变;2. 两行(两列)互换, 行列式反号;3. 关于一行 (一列) 呈线性性质;一行 (列) 加上另一行 (列) 的倍数, 行列式值不变;5. 行列式可按一行(一列)作代数余子式展开.,行列式具有以下性质:,怎样用矩阵乘法表达 ?,对元素在交换么环 K A 中的 n 阶矩阵左乘伴随 其伴随矩阵可用代数余子式定义,对元素在交换么环 K A 中的 n 阶矩阵左乘伴随得到用伴随矩阵元素作组合因子就得到 f ( A )与 0,2. 利用向量零化多项式证明 Hamilton - Cayley 定理,思路_问题的局部化: 设 f ( x ) 是 A 的特征多项式. 如果能证明对 V , 都有 f ( A ) = 0 , 就能推出 f ( A ) = 0 .取定 的好处是, 问题可以限制在 A-子空间 W = h ( A ) | h ( x ) K x 上讨论, 而 A | W 的结构很容易刻画.,设 A 是 K - 线性空间 V 上的线性变换, 是 V 中任意一个向量. 若多项式 h ( x ) K x 满足 h( A ) = 0 , 则称 h ( x ) 是 A 在 处的零化多项式.,向量零化多项式,A 在 处的所有零化多项式中, 有一个 次数最小的首一多项式, 称为 A 在 处的 最小多项式 , 记为 m ( , x ) . 性质: h ( x ) 是 A 在 处的零化多项式 m ( , x ) | h ( x ) h ( x ) = q ( x ) m ( , x ) + r ( x ),向量最小多项式,设 m ( , x ) = x r + br-1 x r-1 + b0 , 则W = 是 A -子空间; , A , , A r-1 线性无关; A | W 在此基 下的矩阵为,向量最小多项式的性质,A1 的特征多项式 = ?,由归纳假设, 公式在 r 1 阶时成立,对任意的 r 1 , 公式成立,3) A1 的特征多项式 = m ( , x ),设 m ( , x ) = x r + br-1 x r-1 + b0 , 则W = 是 A -子空间; , A , , A r-1 线性无关; A | W 的特征多项式为 m ( , x ) .,向量最小多项式的性质,Hamilton-Cayley 定理的证明: 设 f ( x ) 是 A 的特征多项式. 任取 V , 我们来证明 f ( A ) = 0 , 由此可推出 f ( A ) = 0 .设 A 在 处最小多项式 m ( , x ) 的次数为 r . 将 W = 的基扩充成 V 的基 , A , , Ar-1 , r+1 , , n .则 A 在此基底下的矩阵具有形式,注意到 A1 是 A | W 在 , A , , Ar-1 下的矩阵, 其特征多项式 | x I1 A1 | = m ( , x ) . 再由知 m ( , x ) | f ( x ) . 由定义 , m ( , x ) = 0 . 于是有 f ( A ) = 0 , V,设 V 是域 K 上的 n 维线性空间, A 是 V 上 的线性变换, f ( x ) 是 A 的特征多项式. 则 f ( A ) = 0 . 即线性变换的特征多项式都是零化多项式,Hamilton-Cayley 定理,Hamilton-Cayley 定理的应用,例: 已知矩阵 . 求1) A5 10 A3 + 14 A2 解: f ( x ) = | x I A | = x3 4 x2 + 5 x 2 ; x5 10 x3 + 14 x2 = ( x2 + 4 x + 1 ) ( x3 4 x2 + 5 x 2 ) + 3 x + 2,例: 已知矩阵 . 求2) 将 A1 表示成 A 的多项式解: f ( x ) = | x I A | = x3 4 x2 + 5 x 2 ;于是 A 3 4 A 2 + 5 A 2 I = 0 . A ( A2 4 A + 5 I ) = 2 I A1 =,例 : 已知 A 是实线性空间 V 上的线性变换, A 在基底 1 , 2 , 3下的矩阵为 试将 V 分解为两个 A -子空间的直和 V = W1 W2 , dim W1 = 1 , dim W2 = 2 并求 A | Wi 在 Wi 的一组基下的矩阵.,考试题型,解: A 的特征多项式为 f ( x ) = | x I A | = = ( x 1 )2 ( x 2 ) ;由 Hamilton-Cayley 定理, Ker f ( A ) = Ker 0 = V , 又 ( x 1 )2 与 ( x 2 ) 互素, 故 V = Ker ( A I )2 Ker ( A 2I ),解: ( A I )2 在 1 , 2 , 3下的矩阵为 矩阵 ( A I )2 解空间的一组基底: Ker ( A I )2 的基底 : 1 , 2,解: ( A 2 I ) 在 1 , 2 , 3下的矩阵为 矩阵 ( A 2I ) 解空间的一组基底: Ker ( A 2 I ) 的基底 : 6 1 + 3 2 + 3,解: 在新基底 1 , 2 , 6 1 + 3 2 + 3 下 A 的矩阵为,解: 在新基底 1 , 2 , 6 1 + 3 2 + 3 下 A 的矩阵为,A | W1 在 1 , 2下的矩阵,A | W2 的矩阵,例: 设方阵 A 在复数域上的特征值全为零. 证明: A 是幂零矩阵.证: 由题设, A 的特征多项式 f ( x ) 的复根 全为 0 , 于是 f ( x ) = xn , n 为 A 的阶数 . 应用 Hamilton-Cayley 定理, 得 An = 0 .,例: 若 n 阶方阵 A 方幂的迹均为 0 , 即 tr( Ak ) = 0 , k 1 . 证明: A 是幂零矩阵.,先证明 A 的复特征值 1 , 2 , , n 全为零. 1 + 2 + + n = tr( A ) = 0 12 + 22 + + n2 = tr( A2 ) = 0 1k + 2k + + nk = tr( Ak ) = 0 k = 1, 2, 3, ,不妨设 1 , 2 , , s 是 A 互异的特征值 , i 的代数重数为 mi 0 . 则有 m1 1 + m2 2 + + ms s = 0 m1 12 + m2 22 + + ms s2 = 0 m1 1s + m2 2s + + ms ss = 0,不妨设 1 , 2 , , s 是 A 互异的特征值 , i 的代数重数为 mi 0 . 则有,由于 A 在复数域上的特征值全为零. 即 A 的特征多项式 f ( x ) 的复根都为 0 , 于是 f ( x ) = x n . 应用 Hamilton-Cayley 定理, 得 An = 0,例: 设 A , B 是 n 阶方阵. 若 C = AB BA 与 A 可交换 . 证明: C 为幂零矩阵 .,证 : 由上一题, 只需证明 tr( Ck ) = 0 , k 1 . 显然, tr( C ) = tr( A B ) tr( B A ) = 0 . 对于 k 2 , 也有 Ck = ( AB BA ) Ck-1 = AB Ck-1 BA Ck-1 = A B Ck-1 B Ck-1 A tr( Ck ) = tr( A BCk-1 ) tr( BCk-1 A ) = 0 .,例: 设 A , B 是 n 阶方阵. 若 C = AB BA 与 A 可交换 . 证明: C 为幂零矩阵 . 证法二 : 首先注意到 A2 B B A2 = A ( AB BA ) + ( AB BA ) A = 2 A C ; A3 B B A3 = A2 ( AB BA ) + ( A2B BA2 ) A = 3 A2 C ;,例: 设 A , B 是 n 阶方阵. 若 C = AB BA 与 A 可交换 . 证明: C 为幂零矩阵 . 类似的, 可用归纳法证明 Ak B B Ak = k Ak -1 C k 0 ;更一般的, 对任意多项式 h ( x ) , 有 h ( A ) B B h ( A ) = h( A ) C . 取 f ( x ) 是 A 的特征多项式 , 则 f ( A ) C = f ( A ) B B f ( A ) = 0,反复运用以上公式 f ( A ) C = f ( A ) B B f ( A ) f ( A ) C3 = 0 f ( A ) C = f ( A ) B B f ( A ) f ( A ) C7 = 0 f (n) ( A ) C = f (n-1) ( A ) B B f (n-1) ( A ) f (n) ( A ) CM = n! CM = 0,第九章 线性变换,5 Hamilton-Cayley 定理 6 最小多项式 7 幂零变换的结构 8 Jordan 标准型 9 对偶空间,最小多项式的概念最小多项式与特征多项式的关系最小多项式的分解计算用最小多项式判定矩阵能否对角化一次因式的指数, 根子空间的维数,线性变换的最小多项式,本节约定: V 是域 K 上的 n 维线性空间 A 是 V 上的线性变换,线性变换的最小多项式,在线性变换 A 所有首一的零化多项式中, 有一个次数最小的多项式, 称为 A 的最小 多项式, 记为 mA ( x ) . 性质: A 的零化多项式都是 mA ( x ) 的倍式, 特别地, A 的最小多项式唯一.,最小多项式,性质 1 : g ( x ) K x 是 A 的零化多项式 mA ( x ) | g ( x ) : 设 g ( x ) = q ( x ) mA( x ) + r ( x ) , deg r ( x ) 1 , 则 A 不能对角化.,最小多项式的概念最小多项式与特征多项式的关系最小多项式的直和分解计算用最小多项式判定对角化一次因式的指数, 根子空间的维数,线性变换的最小多项式,作业：5 月 24 日 交,9.7 1 ( 判断能否对角化), 2 (1) (3), 7, 9, 10, 11补充题: 1,补充题: 1 设 V = W1 W2 Ws 是线性空间 V 关于线性变换 A 的根子空间分解, 这里 Wi = Ker ( A i I )ri , ri 是 i 的代数重数. 证明: 对于任意 A -子空间 W, 都有 W = ( W W1 ) ( W Ws ),线性空间的主分解定理 Primary Decomposition Theorem,引理 1. 设 B 是 V 上的线性变换, 则1) Ker B Ker B 2 Ker B 3 证: B k = 0 B k + 1 = 0,引理 1. 设 B 是 V 上的线性变换, 则1) Ker B Ker B 2 Ker B 3 2) 若 Ker B k - 1 = Ker B k , 则有 Ker B k = Ker B k + 1 证: 由 B k + 1 = B k ( B ) = 0 B Ker B k = Ker B k - 1 B k = B k - 1 ( B ) = 0,根子空间,若 K 是 A 的特征值, 则存在正整数 t , 使得 Ker ( A I ) Ker ( A I )2 Ker ( A I )t = Ker ( A I )t +1 = t 称为特征值 的最小稳定指数, Ker ( A I )t 称为 的根子空间.,若 A 的最小多项式在 K 上有分解 mA ( x ) = ( x 1 )t 1 ( x 2 )t 2 ( x s )t s 则 V = W1 W2 Ws这里 Wi = Ker ( A i I )t i 是 i 的根子空间, t i 是 i 的最小稳定指数, dimWi = i 代数重数,主分解定理,先证 Wi = Ker ( A i I )t i 是 i 的根子空间: 记 Wi = Ker ( A i I )t i + 1 . 由于 ( x 1 )t 1 ( x i )t i + 1 ( x s )t s 也是 A 的零化多项式, 我们有 V = W1 Wi Ws 故 Wi = Wi . 由此知 Wi 是根子空间.,再证 t i 是 i 的最小稳定指数: 记 i 的最小稳定指数为 ki . 由 Wi = Ker ( A i I )ki Ker ( A i I )ki 1 知 ( x i )ki 是 A | Wi 的零化多项式, 而 ( x i )ki - 1 不是 A | Wi 的零化多项式. 故 A | Wi 的最小多项式就是 ( x i )ki .,再证 t i 是 i 的最小稳定指数: 于是 A 的最小多项式 mA ( x ) = ( x 1 )k1 , , ( x s )ks = ( x 1 )k1 ( x s )ks 比较因式 x i 的指数, 得 t i = ki , i .,最后证 dimWi = i 的代数重数 : A 的特征多项式与最小多项式有相同 的根, 故在 K 上能分解成 fA ( x ) = ( x 1 )r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs 记 A |Wi 的特征多项式为 f i ( x ) , 我们又有 fA ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) f s ( x ) .,注意到 ( x i )t i 是 A | Wi 的最小多项式. A | Wi 的特征多项式 f i ( x ) 只能是 x i 的方幂. 由此推出 f i ( x ) = ( x i )ri . 根据特征多项式定义, dim Wi = deg f i ( x ) = r i .,注: 若 g ( x ) 0 是 A 的零化多项式, 设 g ( x ) = ( x 1 )e1 ( x s )es h ( x ) , e i t i , ( x i , h ( x ) ) = 1 , i 则有 V = Ker ( A 1I )e1 Ker ( A sI )es Ker h ( A ),也是根子空间的直和,根子空间性质: 若 K 是 A 的特征值, 我们有 Ker ( A I ) Ker ( A I )2 Ker ( A I )t = Ker ( A I )t +1 = 且 1) t 是特征值 在 mA ( x ) 中根的重数; 2) Ker ( A I )t 的维数 = 的代数重数.,若 W 是 A -子空间, 则 1) A | W 的特征多项式整除 A 的特征 多项式; 2) A 的零化多项式也是 A | W 的零化 多项式. 特别地, A 的最小多项式能被 A | W 的最小多项式整除.,例: 求 A 的最小多项式,2 维,3 维,=,2 维,2 维,例. 已知 A 是实线性空间 V 上的线性变换, A 在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为 1) 将 V 分解为根子空间的直和 V = W1 Ws , 2) 求 A | Wi 在 Wi 的一组基下的矩阵;3) 求 A 的最小多项式.,解: A 的特征多项式为 f ( x ) = | x I A | = = ( x 2 )3 ( x 3 ) ;根子空间分解:V = Ker ( A 2I )3 Ker ( A 3I ) = W1 W2,解: A 2I 在 1 , , 4下的矩阵为 dim Ker ( A 2I ) = 4 3 = 1,解: ( A 2I )2 在 1 , , 4下的矩阵为 dim Ker ( A 2I )2 = 4 2 = 2 0 ) , 则 , B , B 2 , , B r -1 线性无关 .证: 若有不全为零的系数 k0 , , kr - 1 , 使得 k0 + k1 B + + ks B s + + kr -1 B r -1 = 0 设 ks ( 0 s r ) 是下标最小的非零系数 , 则 ks B r 1 = 0 ks = 0 , 矛盾！,B r - s -1,设 W 满足 B r = 0 但 B r -1 0 . 则 Z ( , B ) = 是 r 维 B -子空间, 称为由 生成的 B -循环子空间. , B , B 2 , , B r -1 称为 Z ( , B ) 的循环基, B r -1 称为循环基的尾项.,设 W 满足 B r = 0 但 B r -1 0 . 则 Z ( , B ) = 是 r 维 B -循环子空间.,循环基,设 W 是 Z ( , B ) 的 B -子空间, 设 = B s + ks+1 B s +1 + + kr-1 B r -1 是 W 中的向量, 使得 s 最小 . 则 W 也要包含 B = B s +1 + + kr-2 B r -1 B r - s -1 = B r -1 W = ,线性空间 Z ( , B ) 共有 r + 1 个 B -子空间: Z ( , B ) = 0 ,循环基有相同的尾项,Z ( , B ) 不能分解成非平凡 B -子空间的直和,关键问题,给定 , W, 怎样才能保证 Z ( , B ) + Z ( , B ) 是直和 ? , B , B 2 , , B r-1 , B , , B s-1 线性无关 ?,引理 : 循环子空间是直和关系当且仅当 这些子空间循环基的尾项线性无关. k0 + k1 B + k2 B2 + k3 B3 + k4 B4 + l0 + l1 B + l2 B2 + l3 B3 + u0 + u1 B + u2 B2 ,= 0,