2007年广州市高二数学竞赛试卷_5.doc

2007年广州市高二数学竞赛试卷题 号一二三合 计（11）（12）（13）（14）（15）得 分评卷员考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内1设函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D2椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（ ）A7倍 B5倍 C4倍 D3倍3已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A0个 B1个 C2个 D无数个4设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）A B18 C16 D9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分把答案填在题中横线上5已知复数满足：，则_6在区间上任取两实数a，b，则二次方程有实数解的概率为 7已知函数满足：，则 8奇函数在上为减函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 9四面体ABCD中，ABCD6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于 10已知满足，则函数的最大值与最小值之和为 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程11（本小题满分15分）已知函数，其中， （），若相邻两对称轴间的距离不小于 （）求的取值范围； （）在中，分别是角的对边，当最大时，求的面积12（本小题满分20分）各项都为正数的数列an的前n项和为Sn，已知 （）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，数列cn满足，数列cn的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；（）同学甲利用第（）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）你是否同意同学乙的观点？请说明理由n：=n+2n：=0Pn：=Tn-Pn：=2007？打印n结束NoYes13（本小题满分20分）多面体的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示A1BCDAB1C1D1直观图主视图图a左视图俯视图aa（）求与平面所成角的正切值；（）求面与面所成二面角的余弦值；（）求此多面体的体积14（本小题满分20分）如图，已知抛物线与圆相交于、两点，且（ 为坐标原点），直线与圆相切，切点在劣弧（含A、B两点）上，且与抛物线相交于、两点，是、两点到抛物线的焦点的距离之和OBMNxyOFlA()求的值；()求的最大值，并求取得最大值时直线的方程15（本小题满分20分）已知函数是区间上的减函数（）若在上恒成立，求t的取值范围；（）讨论关于x的方程的根的个数2007年广州市高二数学竞赛参考答案1选B 2选A3选D 4选B 5填1 6填 7填2008 8填 9填10填20 11解：（），函数的周期由题意可知解得故的取值范围是（）由（）可知的最大值为1，而，由余弦定理，知，又， 联立解得或（或用配方法）12解：（）当时，由，解得，当时，由，得两式相减，并利用，求得数列是首项为2，公差为1的等差数列（）（）是首项为2，公比为2的等比数列，当n为偶数时，（）（n为偶数），设（n为偶数），且，（利用数列的单调性或函数的单调性判断），即（n为偶数）因此同学乙的观点正确A1BCDAB1C1D1HK13（）解：由已知图可得，平面平面，取中点，连接，在等腰中，有，则平面是与平面所成的角，故与平面所成角的正切值为2（）解法1：取中点，连接，同理有平面，即是在平面内的射影取的中点M，取的中点N，连接MN，AM，AN，则就是面与面所成的二面角MNa，即面与面所成二面角的余弦值为解法2：取中点，连接，同理有平面，即是在平面内的射影，在中，又，设面与面所成二面角的大小为，则面与面所成二面角的余弦值为（）解：该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为此多面体的体积14 () 解：设点的坐标为，由于抛物线和圆关于轴对称，故点的坐标为， 即点在抛物线上， 即点的坐标为OBMNxyAON1M1Fl点在圆上，又，解得() 解法1：设直线的方程为：，因为是圆O的切线，则有，又，则即的方程为：联立即设，则如图，设抛物线的焦点为，准线为，作，垂足分别为由抛物线的定义有：令，则又，当时，有最大值11当时，故直线的方程为解法2：设直线与圆相切的切点坐标为，则切线的方程为由 消去，得设，则如图，设抛物线的焦点为，准线为，作，垂足分别为由抛物线的定义有：，当时，有最大值11当时，故直线的方程为15解：（）在上是减函数， 在上恒成立， ， 又在上单调递减， 只需， （其中）恒成立