第五章 相似矩阵.doc

第五章 相似矩阵1教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3) 简单了解Jordan标准形.2教学重点：(1) 方阵的特征值与特征向量.(2) 矩阵的相似对角化.3教学难点：矩阵的相似对角化.4本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵和向量的运算:.从矩阵上提出的问题是：能否找一个数和一个非零向量,使,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan标准形.5教学内容：5.1 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念在一些应用问题中常会用到一系列的运算:为了简化运算，希望能找到一个数和一个非零向量，使，这样的数和向量就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于阶方阵, 若有数和向量满足, 称为的特征值, 称为的属于特征值的特征向量 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 或者 有非零解 特征矩阵：或者 特征多项式： 的特征值与矩阵又有什么关系呢？ 定理1：设 阶方阵的个特征值为 则 (1) 称为矩阵的迹。(主对角元素之和) (2) 例1 求的特征值与特征向量例2，例3 见书第136、137页.2. 特征向量的性质方阵关于特征值的特征向量是齐次线性方程组 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当是对应于 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：仍是关于的特征向量。在此，我们重点关注矩阵的特征向量的线性相关性。 定理2：设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量， 则是线性无关的。定理3：矩阵的个不同特征值所对应的组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设是阶方阵的一个重特征值，则对应的特征向量中 线性无关的最大个数 由以上定理可知，若有个互异的特征值：则每个仅对应一个线性无关的特征向量，从而共有各线性无关的特征向量。 例4 求的特征值与特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , , （不同时为0）例5 设的特征值为, 求 解 设, 则的特征值为 故 思考题：设4阶方阵满足条件： 求的一个特征值。 (答案：)作业：习题册第五章第一节。5.2 矩阵相似对角化 1相似矩阵：对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得, 称相似于, 记作相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质： (1) ： (2) ： (3) 若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢? 定理1: 设阶方阵和相似，则有 (1) (2) 和的特征多项式相同，即 从而和的特征值相同。 证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为故存在可逆矩阵 使于是 显然，若方阵与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为的特征值。 例1：设矩阵与，求 解：利用得到方程 再利用，得到有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若，则2矩阵相似对角形 若方阵能够与一个对角矩阵相似, 称可对角化 定理2 阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量证 必要性设可逆矩阵使得 即划分, 则有 因为为可逆矩阵, 所以它的列向量组线性无关上式表明：是的个线性无关的特征向量 充分性设线性无关, 且满足, 则为可逆矩阵, 且有 即 注 的主对角元素为的特征值 推论1 有个互异特征值可对角化 推论2 设的全体互异特征值为, 重数依次为, 则可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值,有个线性 无关的特征向量 例2 判断下列矩阵可否对角化： (1), (2), (3) 解 (1) 有3个互异特征值 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 (2) 例1求得有3个线性无关的特征向量 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 (3) , 例2求得, 对应于2重特征值, 只有1个线性无关的特征向量 不可对角化 例3 设, 求 解 例4求得 , , 使得 ： 故 （）思考题：设求 (答案: )作业：习题册第五章第二节。5.3 Jordan标准形 从上节我们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。这就是这一节将要介绍的Jordan矩阵。在此，我们只介绍Jordan矩阵和方阵相似于Jordan矩阵的一种求法。1 Jordan矩阵：形如 的阶方阵称为一个阶Jordan块。称主对角线子块为Jordan块的准对角矩阵为Jordan矩阵。定理1：在复数域上，每个阶方阵都相似于一个Jordan矩阵J，即存在可逆矩阵，使得 知道了什么是Jordan矩阵后，现在的问题是如何求Jordan标准形。 Jordan标准形: 当矩阵与Jordan矩阵J相似时，就说J是的Jordan 标准形，并记为.若矩阵能相似对角化，对角矩阵就是其Jordan标准形。求阶方阵的Jordan矩阵J和可逆矩阵的方法如下： (1)求的特征多项式 互异，从而是的重特征值，由此确定 阶数为. (2)由求的个线性无关的特征向量 由此确定中有个Jordan块. (3)若则在对应的特征向量集合中适当选 取特征向量，求Jordan链确定Jordan块 ，特别地，长度为1的Jordan链即为一个特征向量，它对应一阶Jordan块(4)以对应的条Jordan链为列构成矩阵，即位含个列的 矩阵，而且则 满足，即例